punkt B symetryczny do punktu A względem prostej l

[22mz]

Znajdź punkt B symetryczny do punktu A=(3,-1,-7) względem prostej\(l: \begin{cases} x+y=0 \\ y+z=0\end{cases}\)

[patryk00714]

Sprowadzamy naszą prostą do postaci kierunkowej:

\(a=\begin{vmatrix}1&0 \\ 1&1 \end{vmatrix}=1\)

\(b=-\begin{vmatrix}1&0 \\ 0&1 \end{vmatrix}=-1\)

\(c=\begin{vmatrix}1&1 \\ 0&1 \end{vmatrix}=1\)

niech \(z=0\) wówczas \(y=0\) i \(x=0\), zatem \(l: \frac{x}{1}= \frac{y}{-1}= \frac{z}{1}\)

Mamy więc wektor \(\vec{v}=[1,-1,1]\)

Szukamy teraz jakiegoś wektora prostopadłego do v. Będzie on postaci: \(\vec{w}=[3-x,-1-y,-7-z]\), gdzie \((x,y,z)\) to pewien punkt \(P\) położony niedaleko \(A\)


Aby \(\vec{w} \perp \vec{v}\) to musi być \(\vec{w} \circ \vec{v} =0\)

czyli: \((3-x) \cdot 1+(-1-y) \cdot (-1)+(-7-z) \cdot 1=0\)

z tego wynika więc, że: \(3+1-7=x-y+z\), czyli \(x-y+z=-3\)

mamy więc układ równań: \(\begin{cases}x-y+z=-3\\ x=-y\\ -y=z \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}y=1\\ x=-1\\ z=-1 \end{cases}\)

zatem wektor przesunięcia \(\vec{PA}=[x-x_a,y-y_a,z-z_a]=[-4,2,6]\)

Punkt symetryczny zatem: \(A'(1-4,-1+2,1+6)=A'(-3,1,7)\)

P.S W razie pomyłki odsyłam tutaj: http://www.flashzone.pl/archive/index.php?t-26230.html