Podzielnośc przez 14

[xmukix]

Jak udowodnić za pomocą własności działań na resztach i kongruencji, że \(14|10^{3n+2}-2(-1)^{n}\)?

[Przemo10]

Liczba
\(10^{3n+2}-2(-1)^{n}\)
jest parzysta. Liczby 7 i2 są wzgłędnie pierwsze zatem zostaje wykazać,że \(7|10^{3n+2}-2(-1)^{n}\)

[xmukix]

Ok A mógłbyś jeszcze pomóc w takich przykładach?
1) \(26|20*10^{3n}+6*(-1)^{n}\)
2) \(14|20*10^{3n}-6*(-1)^{n}\)

[Przemo10]

\(7|10^{3n+2}-2(-1)^{n}\)
\(10^{3n+2}\equiv 3^{3n+2}\equiv 9 \cdot 3^{3n}\equiv 2 \cdot 27^n\equiv 2 \cdot 6^n\equiv 2 \cdot \left(-1 \right)^n \pmod{7}\)

[Przemo10]

Przykłady analogiczne:
\(26|20*10^{3n}+6*(-1)^{n}\)
Liczba \(2 \setminus 26|20*10^{3n}+6*(-1)^{n}\)
Wykazujemy podzielność przez \(13\)
\(20*10^{3n}\equiv 7 \cdot 1000^n\equiv -6 \cdot 12^n\equiv -6 \cdot \left(-1 \right) ^n\pmod 13\)
Stąd
\(20*10^{3n} +6 \cdot \left(-1 \right) ^n\equiv 0\pmod {13}\)

[xmukix]

Dzięki za pomoc. Mam nadzieję, że teraz już sobie poradzę.

[Przemo10]

Przykład 2 zrób sam dla utrwalenia. Taka sama metoda
Jak nie będziesz wiedzialto ci podpowiem