Eliminacja gaussa

[Duriv]

układ rownan
\(x+2y+3z-t=3
2x-y+z+2t=1
3x+y+2z+t=4\)

[patryk00714]

\(\begin{bmatrix}1& 2&3&-1&|3 \\ 2&-1&1&2&|1\\3&1&2&1&|4 \end{bmatrix} \Rightarrow ^{w_2 \to w_2-2w_1}_{w_3 \to w_3-3w_1}\begin{bmatrix}1& 2&3&-1&|3 \\ 0&-5&-5&4&|-5\\0&-5&-7&4&-5 \end{bmatrix} \Rightarrow ^{w_2 \to -\frac{w_2}{5}}\begin{bmatrix}1& 2&3&-1&|3 \\ 0&1&1& -\frac{4}{5} &|1\\0&-5&-7&4&-5 \end{bmatrix}\)

\(\Rightarrow ^{w_1 \to w_1-2w_2}_{w_3 \to w_3+5w_2}\begin{bmatrix}1& 0&1& \frac{3}{5} &|1 \\ 0&1&1& -\frac{4}{5} &|1\\0&0&-2&0&|0 \end{bmatrix} \Rightarrow^{w_3 \to - \frac{1}{2}w_3} \begin{bmatrix}1& 0&1& \frac{3}{5} &|1 \\ 0&1&1& -\frac{4}{5} &|1\\0&0&1&0&|0 \end{bmatrix} \Rightarrow ^{w_1 \to w_1-w_3}_{w_2 \to w_2-w_3} \begin{bmatrix}1& 0&0& \frac{3}{5} &|1 \\ 0&1&0& -\frac{4}{5} &|1\\0&0&1&0&|0 \end{bmatrix}\)

\(z=0\)(Już po pierwszym przekształceniu zauważ, że był to warunek, aby równanie nie było sprzeczne. Gdyby \(z \neq 0\) to rowanie nie miałoby rozwiązania).
\(x=1- \frac{3}{5}t\)
\(y=1+ \frac{4}{5}t\)

\(\begin{bmatrix}x \\y\\z\\t \end{bmatrix}=t\begin{bmatrix}- \frac{3}{5} \\ \frac{4}{5} \\0\\1 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix}1 \\1\\0\\0 \end{bmatrix}\)