Pole części wspólnej dwóch kół

[Kanodelo]

Jak obliczyć pole części wspólnej kół?
Niebieska linia ma długość 10 cm.

[irena]

Czy oba koła są jednakowe? Środek każdego z nich leży na okręgu drugiego?
Tak myślę.
Jeśli wspólne punkty okręgów oznaczysz A i B, końce zaznaczonego odcinka oznaczysz K, L. to czworokąt AKBL jest rombem, w którym boki i przekątna KL mają długość 10cm. Pole tego rombu to suma pól dwóch trójkątów równobocznych o boku 10cm
\(P_r=2\cdot\frac{10^2\sqrt{3}}{4}=50\sqrt{3}cm^2\)

Zaznaczona figura to suma dwóch odcinków kół ograniczonych cięciwą, na której opiera się kąt \(60^0+60^0=120^0\)
Pole jednego takiego odcinka to różnica trzeciej części koła i połowy rombu.
\(P=2\cdot\frac{1}{3}\pi\cdot10^2-P_r=\frac{200}{3}\pi-50\sqrt{3}=\frac{50(4\pi-3\sqrt{3})}{3}cm^2\)

[Kanodelo]

Czy oba koła są jednakowe? Środek każdego z nich leży na okręgu drugiego?

Tak,oczywiście.
Dziękuje bardzo

[Matematyk_64]

Albo tak. Ta "soczewka" jest to sumą dwóch odcinków koła o identycznych polach
Najpierw szybko udowadniamy, że kąt wierzchołkowy trójkąta ABS ma miarę \(\alpha = \frac{2}{3} \pi\)
A następnie wzór na odcinek kołowy (kąt w radianach!)
\(P = \frac{R^2}{2}(\alpha - sin( \alpha ))\)
daje nam ostatecznie wzór na tą "soczewkę"
\(P_s = R^2(\alpha - sin( \alpha ))\)
gdzie R= 10 i wynik mamy
\(P_s = 100( \frac{2}{3} \pi - \frac{ \sqrt{3} }{2} ) cm^2\)