Zbieżność bezwzględna szeregu o wyrazach zespolonych

[aaasiuniaaaa]

Czy szereg
\(\sum_{n=1}^{ \infty } \left[ \frac{1}{n^2}+i^n \right]\)
jest bezwzględnie zbieżny?

[Crazy Driver]

A co oznacza prostokątna klamra?

[aaasiuniaaaa]

po prostu nawias

[Crazy Driver]

Aha. W takim razie szereg ten nie jest zbieżny bezwzględnie, ponieważ w ogóle nie jest zbieżny.

Szereg \(\sum_{n=1}^\infty z_n=\sum_{n=1}^\infty (x_n+iy_n)\) jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy szeregi rzeczywiste \(\sum_{n=1}^\infty x_n\) i \(\sum_{n=1}^\infty y_n\) są zbieżne.
W naszym przypadku szereg \(\sum_{n=1}^\infty \textrm{Im}(z_n)\) nie jest zbieżny.

\(z_n=\left\{\begin{array}{ll} \frac1{n^2}+1;&n\bmod 4=0\\\frac1{n^2}+i;&n\bmod 4=1\\\frac1{n^2}-1;&n\bmod 4=2\\\frac1{n^2}-i;&n\bmod 4=3 \end{array}\quad\Rightarrow\quad \textrm{Im}(z_n)=\left\{\begin{array}{ll} 0;&n\bmod 2=0\\1;&n\bmod 4=1\\-1;&n\bmod 4=3 \end{array}\)

Widać gołym okiem, że ciąg \((\textrm{Im}(z_n))\) nie spełnia warunku koniecznego zbieżności. Bardziej formalnie: można wskazać podciąg ciągu \((\textrm{Im}(z_n))\), który nie zbiega do \(0\).

Brak zwykłej zbieżności oznacza brak zbieżności bezwzględnej.

[aaasiuniaaaa]

kurcze wydawało mi się to rozwiązanie za proste, bo to zadanie na kolokwium, dlatego napisałam je na tym forum.
Dziękuję za potwierdzenie mojego sposobu
Miłego wieczorku życzę!!