Prostopadłościan i czworościan

[pewna24]

1) Przekątna prostopadłościanu o podstawie kwadratwoej ma dlugosc 6cm i nachylona do płaszczyzny podstawy pod katem 30".Oblicz pole całkwoite i objętość figury.
2)Olbicz pole całkowite i objetosc czworoscianu foremnego o krawiedzi dlugosci 6.

[agulka]

1.

\(D=6\)

\(sin30^o = \frac{H}{D}\\
\frac{1}{2} = \frac{H}{6}\\
H=3\)

\(cos30^o = \frac{d_{p}}{D}\\
\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{d_{p}}{6}\\
d_{p}=3\sqrt{3}\)

\(d_{p}=a\sqrt{2}\\
3\sqrt{3}=a\sqrt{2}\\
a=\frac{3\sqrt{6}}{2}\)

\(P_{pc}=2a^2 + 4aH = 2 \cdot \(\frac{3\sqrt{6}}{2}\)^2 + 4 \cdot \frac{3\sqrt{6}}{2} \cdot 3 = 27 + 18\sqrt{6} = 9(3+2\sqrt{6}) \ cm^2\)

\(V=a^2H = \frac{81}{2} \ cm^3\)

[agulka]

2.

\(a=6\)

\(P_{pc} = a^2\sqrt{3} = 36\sqrt{3} \ j^2\)

\(V=\frac{a^3\sqrt{2}}{12} = \frac{216\sqrt{2}}{12} =18\sqrt{2} \ j^3\)

[Galen]

1)
Rozważ trójkąt prostokątny o przyprostokątnych : przekątna kwadratowej podstawy i krawędź boczna h.
Kąt ostry w tym trójkącie ma 30 stopni,zaś przeciwprostokątna ma 6cm.
sin30=1/2
sin 30=h/6
Z powyższ\ego masz równanie
\(\frac{h}{6}=\frac{1}{2}\\
h=3 cm\)
Przekątną podstawy oblicz z tw.Pitagorasa:
\(p^2+3^2=6^2\\
p^2=27\\
p=3\sqrt{3}\)
Ale tu masz wzór na przekątną kwadratu:
\(a\sqrt{2}=3\sqrt{3}\\
a=\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{6}}{2}\)

\(V=a^2\cdot h=\frac{9\cdot 6}{4}\cdot 3=\frac{81}{2}=40,5 cm^3\)

\(P_c=2\cdot a^2+4a\cdot h=2\cdot \frac{27}{2}+4\cdot \frac{3\sqrt{6}}{2}\cdot 3=27+18\sqrt{6} cm^2\)