Prawdopodobieństwo, pomóżcie rozpisać

[karolpaciorek]

Heh, mam i drugie zadanie:C

Dość proste, ale nie chce się walnąć gdzieś w obliczeniach, a muszę je ogarnąć dla brata..

Dwaj gracze: Kris i Darek grają w grę: rzucają piłkądo kosza na przemian. Ten kto pierwszy trafi wgrywa. Grę zawsze zaczyna Kris, jeśli nie trafi ,to próbę podejmuje Darek, jesli o nie trafi, to rzuca Kris itd. Jakie są szanse na wygraną poszczególnych graczy? Częstosć trafiania to 50%.


Wiem że 2/3 i 1/3, jednak nie mam pojęcia jak rozpisać to matematycznie.

[Galen]

Kris może wygrać w pierwszej próbie,lub w trzeciej lub w piątej lub w siódmej itd.
Prawdopodobieństwa wygranej w tych próbach to odpowiednio:
\(\frac{1}{2}\;,\;\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{4}\;,\;\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{16}\;,\;\frac{1}{2}\cdot (\frac{1}{4})^2...\)
Prawdopodobieństwa tworzą nieskończony ciąg geometryczny ,a ich suma jest to P(K)
\(P(K)=\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}\cdot \frac{4}{3}=\frac{2}{3}\)
Darek ma prawdopodobieństwo pierwszego zwycięstwa równe 1/4 (Kris nie trafi ,a Darek trafi),a potem kolejne
prawdopodobieństwa liczysz mnożąc poprzednie przez 1/4.
\(\frac{1}{4}\;,\; \frac{1}{4}\cdot \frac{1}{4}\;,\; \frac{1}{4}\cdot ( \frac{1}{4})^2\;...\)
\(P(D)= \frac{ \frac{1}{4} }{1- \frac{1}{4} }= \frac{ \frac{1}{4} }{ \frac{3}{4} }= \frac{1}{3}\)

Radzę narysować drzewko:
Pierwsze piętro dla Kris i dwie gałązki :Trafił,Nie z prawdopodobieństwem 1/2.
Pod NIE znów dwie gałązki dla Darka z prawdopodobieństwami 1/2 i wynikiem rzutu T i N ,
Pod N znów dwie gałązki dla Kris...

Stosujesz wzór na sumę szeregu geometrycznego:
\(S= \lim_{n\to \infty }S_n= \frac{a_1}{1-q}\)