z góry dziękuję
Wykazać ze funkcja \(||.||_4:\ R^2->R\) dana wzorem \(||(x,y)||_4=2|x|+\frac{1}{3}|y|\) jest normą.
Norma w R^n
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Norma w R^n
Witam, bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu tego zadania. Znam całą teorię z tego tematu, ale nie wiem jak się zabrac za to zadanie...
z góry dziękuję
Wykazać ze funkcja \(||.||_4:\ R^2->R\) dana wzorem \(||(x,y)||_4=2|x|+\frac{1}{3}|y|\) jest normą.
z góry dziękuję
Wykazać ze funkcja \(||.||_4:\ R^2->R\) dana wzorem \(||(x,y)||_4=2|x|+\frac{1}{3}|y|\) jest normą.
-
radagast
- Guru
- Posty: 17551
- Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękowania: 41 razy
- Otrzymane podziękowania: 7435 razy
- Płeć:
A ja nie pamietam całej teorii z tego tematu ale sobie popatrzyłam tu: http://pl.wikipedia.org/wiki/Przestrze%C5%84_unormowana.
I widzę, że trzeba sprawdzić że:
1)\(||(x,y)||_4=0 \Rightarrow (x,y)=(0,0)\) - oczywiste, bo to suma nieujemych składników , to zerem może być tylko jeśli to suma zer.
2)\(||\alpha (x,y)||_4= \alpha ||(x,y)||_4\)
\(||\alpha (x,y)||_4=|| \alpha x, \alpha y||_4= 2| \alpha x|+ \frac{1}{3} | \alpha y|\)
\(|\alpha| \cdot ||(x,y)||_4= |\alpha| \left(2| x|+ \frac{1}{3} | y| \right)= 2| \alpha x|+ \frac{1}{3} | \alpha y|\) czyli ok
3) \(|| (x,y)||_4+||(y,z)||_4 \ge || (x,z)||_4\)
czyli
\(2| x|+ \frac{1}{3} | y| +2| y|+ \frac{1}{3} | z| \ge 2| x|+ \frac{1}{3} | z|\) i to również jest oczywiste
W zasadzie to tu nie ma czego sprawdzać. Norma jak byk !
I widzę, że trzeba sprawdzić że:
1)\(||(x,y)||_4=0 \Rightarrow (x,y)=(0,0)\) - oczywiste, bo to suma nieujemych składników , to zerem może być tylko jeśli to suma zer.
2)\(||\alpha (x,y)||_4= \alpha ||(x,y)||_4\)
\(||\alpha (x,y)||_4=|| \alpha x, \alpha y||_4= 2| \alpha x|+ \frac{1}{3} | \alpha y|\)
\(|\alpha| \cdot ||(x,y)||_4= |\alpha| \left(2| x|+ \frac{1}{3} | y| \right)= 2| \alpha x|+ \frac{1}{3} | \alpha y|\) czyli ok
3) \(|| (x,y)||_4+||(y,z)||_4 \ge || (x,z)||_4\)
czyli
\(2| x|+ \frac{1}{3} | y| +2| y|+ \frac{1}{3} | z| \ge 2| x|+ \frac{1}{3} | z|\) i to również jest oczywiste
W zasadzie to tu nie ma czego sprawdzać. Norma jak byk !
\(||(x,\ y)||_4=2|x|+\frac{1}{3}|y|\)
1)
\(||(x,\ y)||_4=0\\2|x|+\frac{1}{3}|y|=0\\x=y=0\\||(x,\ y)||_4=0\ \Rightarrow \ (x,\ y)=(0,\ 0)\)
2)
\(||a(x,\ y)||_4=||(ax,\ ay)||_4=2|ax|+\frac{1}{3}|ay|=2|a|\cdot|x|+\frac{1}{3}|a|\cdot|y|=|a|\cdot(2|x|+\frac{1}{3}|y|)=|a|\cdot||(x,\ y)||_4\)
3)
\(||(x,\ y)+(z,\ t)||_4=||(x+z,\ y+t)||_4=2|x+z|+\frac{1}{3}|y+t|\ge2(|x|+|z|)+\frac{1}{3}(|y|+|t|)=\\=2|x|+\frac{1}{3}|y|+2|z|+\frac{1}{3}|t|=||(x,\ y)||_4+||(z,\ t)||_4\)
Funkcja ta jest normą (wynika to z własności wartości bezwzględnej)
1)
\(||(x,\ y)||_4=0\\2|x|+\frac{1}{3}|y|=0\\x=y=0\\||(x,\ y)||_4=0\ \Rightarrow \ (x,\ y)=(0,\ 0)\)
2)
\(||a(x,\ y)||_4=||(ax,\ ay)||_4=2|ax|+\frac{1}{3}|ay|=2|a|\cdot|x|+\frac{1}{3}|a|\cdot|y|=|a|\cdot(2|x|+\frac{1}{3}|y|)=|a|\cdot||(x,\ y)||_4\)
3)
\(||(x,\ y)+(z,\ t)||_4=||(x+z,\ y+t)||_4=2|x+z|+\frac{1}{3}|y+t|\ge2(|x|+|z|)+\frac{1}{3}(|y|+|t|)=\\=2|x|+\frac{1}{3}|y|+2|z|+\frac{1}{3}|t|=||(x,\ y)||_4+||(z,\ t)||_4\)
Funkcja ta jest normą (wynika to z własności wartości bezwzględnej)