Rownanie trygonometryczne

[maromaro]

Rozwiąz w przedziale \((- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})\)

\(tg ( x +\frac{\pi}{3}) = tg (\frac{\pi}{2}- x )\)

czy mozna zamienic to po prawej na \(ctgx\)???
i wtedy jak to dalej rozwiązac??

[radagast]

\(tg ( x +\frac{\pi}{3}) = tg (\frac{\pi}{2}- x )\), \(D= \left( - \frac{ \pi }{2},\frac{ \pi }{2} \right) \setminus \left\{0\right\}\)

\(tg ( x +\frac{\pi}{3}) - tg (\frac{\pi}{2}- x )=0\)

\(\frac{sin(2x- \frac{ \pi }{6} )}{cos( x +\frac{\pi}{3})cos (\frac{\pi}{2}- x )} =0\)

\(sin(2x- \frac{ \pi }{6} ) =0\)

\(2x- \frac{ \pi }{6}=k \pi\)

\(x= \frac{ \pi }{12}+k \frac{ \pi }{2}\)

\(x= -\frac{5}{12} \pi,\ \ x= \frac{1}{12} \pi\)

[maromaro]

czyli nie mozna zamienic tego poprawej na ctgx??

[radagast]

można , ale nie trzeba ...

[maromaro]

ja tak zrobilem to nie chce mi wyjsc i dlatego pytam..

[radagast]

I jeszcze obrazek na potwierdzenie:

ScreenHunter_630.jpg (29.91 KiB) Przejrzano 395 razy

[radagast]

ja tak zrobilem to nie chce mi wyjsc i dlatego pytam..

znaczy: moja metoda lepsza

[maromaro]

no tak ale jednak jakby ktos mogl rozwiazac to tym moim sposobem to tez by bylo fajnie bo nie wiem co robie zle..

[jola]

\(x+ \frac{ \pi }{3}= \frac{ \pi }{2}-x+k \pi \\ x= \frac{ \pi }{12}+ \frac{k \pi }{2}\ \ \ \wedge \ \ \ k \in C\ \ \ \wedge \ \ \ x \in (- \frac{ \pi }{2} \ ;\ \frac{ \pi }{2} )\)

jeżeli \(\ k=-2\ \ \ to\ \ \ x=- \frac{11}{12} \pi \ \ \ \notin (- \frac{ \pi }{2}; \frac{ \pi }{2})\)
jeżeli \(\ k=-1\ \ \ to\ \ \ x=- \frac{5}{12} \pi \ \ \ \in (- \frac{ \pi }{2} ; \frac{ \pi }{2} )\)
jeżeli \(\ k=0\ \ \ to\ \ x= \frac{ \pi }{12} \ \ \ \in (- \frac{ \pi }{2}; \frac{ \pi }{2})\)
jeżeli \(\ k=1\ \ \ to\ \ \ x= \frac{7}{12} \pi \ \ \ \notin (- \frac{ \pi }{2} ; \frac{ \pi }{2})\)

odp:\(\ x \in \left\{\ - \frac{5}{12} \pi \ ;\ \frac{ \pi }{12} \ \right\}\)

[maromaro]

to mozna tak sobie opuszczac tg??!!

[radagast]

W przedziale o podanej długości tg jest różnowartościowy, wiec można

[maromaro]

a co to znaczy ze jest roznowartosciowy?? kiedy nie moznaby było??

[radagast]

jesli z równości wartości można wnioskować równość argumentów , to jest różnowatrościowy.
Np \(x^2=y^2\)to z tego nie wynika że \(x=y\) właśnie dlatego że \(x^2\) nie jest różnowartościowa

[Galen]

Funkcja jest różnowartościowa,gdy każdą swoją wartość przyjmuje tylko raz.
Np.Jeśli ma dwa miejsca zerowe to znaczy,że wartość zero przyjęła dwa razy,czyli
nie jest różnowartościowa.
Jeśli masz wykres,to obserwujesz,czy każda prosta pozioma przecina wykres raz,albo wcale go nie przecina.
sin,cos nie są różnowartościowe,bo np.wartość 1 osiągają wiele razy.