Wykaż, że suma dowolnej liczby dodatniej i jej odwrotności..

[Panchita]

Wykaż, że suma dowolnej liczby dodatniej i jej odwrotności jest nie mniejsza od 2

\(x \in R^+\)
\(x- \frac{1}{x} \ge 2\)
\(x^2 - 2x - 1 \ge 0\)

\(x1 = 1 - \sqrt{2}\) x1 nie spełnia warunku \(x \in R^+\) więc nie jest brane pod uwagę
\(x2 = 1 + \sqrt{2}\)

\(x \in ( 1+ \sqrt{2} , \infty ) \Rightarrow x - \frac{1}{2} \ge 2\)

Czy to jest dobrze, czy żeby było dobrze musiałabym narysować wykres funkcji? Jeżeli musiałabym narysować wykres funkcji to jak miałby on wyglądać? Byłaby to normalna parabola z ramionami do góry i miejscami zerowymi takimi jak x1 i x2 ? Coś dodatkowo musiałabym na niej zaznaczać?

[irena]

\((x-1)^2\ge0\\x^2-2x+1\ge0\\x^2+1\ge2x\ /:x\\x+\frac{1}{x}\ge2\)

[josselyn]

\(x- \frac{1}{x} \ge 2\)
lewa do wspolnego mianownika
\(\frac{x^2+1}{x} \ge 2\) /\(*x \neq 0\) ,\(x>0\)
\(x^2+1 \ge 2x\)
\(x^2-2x+1 \ge 0\)
\((x-1)^2 \ge 0\)