Reguła mnożenia- zadania

[poziomex]

1. Na konferencji zaplanowano wystąpienie pięciu specjalistów: biologa, genetyka, ekologa, prawnika, i etyka. Na ile sposobów można zaplanować kolejność ich wystąpienia jeśli:
a) kolejność jest dowolna
b) ekolog musi wystąpić jako pierwszy
c) bezpośrednio po prawniku wystąpi etyk
d) prawnik i genetyka nie powinni mówić jeden po drugim?

2. Ile liczb trzycyfrowych można utworzyć z cyfr 1, 2, 3, 4, 5, 6, jeśli:
a) w żadnej liczbie nie wystąpi cyfra 1
b) w każdej liczbie wystąpi cyfra 5
c) liczby te mają być większe od 150
d) liczby te mają być mniejsze od 456

Rozważ 2 warianty, w liczbach cyfry nie mogą się powtarzać i mogą się powtarzać.


3. Na ile sposobów na ławce może usiąść 11 graczy piłki nożnej jeśli:
a) usadzamy ich losowo
b) bramkarz usiądzie jako pierwszy
c) bramkach i środkowy napastnik nie usiądą obok siebie?

[Galen]

1)
a)
5!=120 sposobów
b)
4!=24 sposoby
c)
3!=6 sposobów i prawnik a za nim etyk mogą zająć miejsca 1i 2lub 2 i 3 lub 3 i 4 lub 4 i 5
Stąd jest 6*4=24 sposoby.
d)
5!-24 możliwości z zadania c,ale jeszcze raz 24 trzeba odjąć,żeby uwzględnić oba możliwe porządki
przemawiania (prawni-etyk oraz etyk-prawnik)
Jest więc 120-48=72 sposoby.

[fdn123]

Pomóżcie resztę zadań zrobić : )

[irena]

1.
c)
Para prawnik, etyk może wystąpić jako:
12, 23, 34 lub 45, pozostali dowolnie
Czyli \(4\cdot3!=4!=24\)

d)
Prawnik i genetyk mogą jeden po drugim mówić na miejscach:
12, 21, 23, 32, 34, 43 lub 45, 54, czyli na \(2\cdot4\cdot3!=2\cdot4!=48\) sposobów
Czyli:
\(5!-2\cdot4!=120-48=72\)

[irena]

2.
a)
Cyfry nie powtarzają się
\(5\cdot4\cdot3=60\)


Cyfry mogą się powtarzać
\(5\cdot5\cdot5=125\)



b)
Piątkę ustawiamy na dowolnym miejscu, na pozostałych- dowolną cyfrę

Cyfry nie powtarzają się
\(3\cdot5\cdot4=60\)

Cyfry mogą się powtarzać
\(3\cdot6\cdot6=108\)

c)
Cyfry nie powtarzają się

Jeśli na miejscu setek weźmiemy 2, 3, 4, 5 lub 6, to
\(5\cdot5\cdot4=100\)

Jeśli na miejscu setek weźmiemy 1 a na miejscu dziesiątek 5 lub 6, to
\(1\cdot2\cdot4=8\)

Razem
\(100+8=108\)


Cyfry mogą się powtarzać
Jeśli na miejscu setek weźmiemy 2, 3, 4, 5 lub 6, to mamy \(5\cdot6\cdot6\) liczb.
Jeśli na miejscu setek weźmiemy 1, a na miejscu dziesiątek 5 lub 6, to mamy \(1\cdot2\cdot6\) liczb

Razem:
\(5\cdot6\cdot6+1\cdot2\cdot6=180+12=192\)

[irena]

2.
d)
Cyfry nie powtarzają się
Jeśli na miejscu setek mamy 1, 2 lub 3, to
\(3\cdot5\cdot4=60\)
Jeśli na miejscu setek mamy 4, to na miejscu dziesiątek 1, 2 lub 3
\(1\cdot3\cdot4=12\)

Razem
\(60+12=72\)

Cyfry mogą się powtarzać
Jeśli na miejscu setek mamy 1, 2 lub 3
\(3\cdot6\cdot6=108\)

Jeśli na miejscu setek mamy 4, a na miejscu dziesiątek 1, 2, 3 lub 4
\(1\cdot5\cdot6=30\)

Jeśli na pierwszych miejscach mamy 45, to na miejscu jedności 1, 2, 3, 4 lub 5

Razem
\(108+30+5=143\)

[irena]

3.
a)
\(11!\)

b)
\(1\cdot10!=10!\)

c)
\(11!-9\cdot2\cdot8!=11!-2\cdot9!\)

[Galen]

2)
Rozważam liczby o różnych cyfrach.
a)Bez cyfry 1 jest
\(5\cdot 4\cdot 3=60\)
b)Z cyfrą 5
\(3\cdot 5\cdot 4=60 liczb\)
c) Większe od 150
\(152,153,154,156,162,163,164,165,------8 \;\;liczb\)
Pozostałych jest jeszcze
z 2 na początku 5*6=20
z 3 na początku 5*6=20
.....
....
z 6 też 20
Razem jest
\(8+5\cdot 20=108\;liczb\)
d)
Mniejsze od 456:
451,452,453,
412,413,415,416
421,423,425,426
431,432,435,436,
Masz 15 liczb z 4 na początku.
Analogicznie liczysz z 3 na początku
\(5\cdot 4=20\)
Z 2 na początku też 20 liczb
Z 1 na początku jest też 20 liczb.
Razem jest ich
\(15+3\cdot 20=75\;\;liczb\)