trudna nierówność

Zadania konkursowe i olimpijskie
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
trudnyproblem
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 3
Rejestracja: 25 wrz 2008, 20:55

trudna nierówność

Post autor: trudnyproblem »

Dostałem zadanie wyglądające na ambitne. Nie wiem wogóle jak to ugryźć. Podejrzewam, że nauczycielka też nie, a dała mi, żebym się odczepił i nie pytał więcej o zadania z matmy. Ale chciałbym ją zaskoczyć, więc jak to zrobić?

Niech n będzie liczbą naturalną, a x i y liczbami rzeczywistymi takimi, że x^n+y^n=1. Udowodnić nierówność:
\((sum_{k=1}^nfrac{1+x^{2k}}{1+x^{4k}})(sum_{k=1}^nfrac{1+y^{2k}}{1+y^{4k}})<frac{1}{(1-x)(1-y)}.\)

Uff. Nawet w miaręmi towyszło w TeXu :-)
Czy ktoś tu umie to rozwiązać?
trudny
Awatar użytkownika
supergolonka
Moderator
Moderator
Posty: 1843
Rejestracja: 06 mar 2008, 11:53
Otrzymane podziękowania: 29 razy
Płeć:

Post autor: supergolonka »

proszę bardzo (dodałem założenie o dodatniości liczb - inaczej łatwo znaleźć kontrprzykład dla n=1).
www.zadania.info/7799106

Aż strach pomyśleć jakie jeszcze zadanie możesz dostać :)
trudnyproblem
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 3
Rejestracja: 25 wrz 2008, 20:55

Post autor: trudnyproblem »

Wow, jak szybko :-)
Chociaż już myślałem, że po prostu wycięliście mojego posta, jak go nie znalazłem przy szkole średniej. Dopiero potem zauważyłem dział Olimpiada.
Czyli takie zadania robi się na Olimpiadzie? Bo ja zupełnie nie wiem skąd ona to zadanie wzięła.
Mam nadzieję, że opanuję to rozwiązanie przez weekend i będę mógł zaszpanować. Myślicie, że pani będzie wiedziała co to jest ta nierówność Karamaty? Wygląda na dość skomplikowaną (ale może mniej niż ta w moim zadaniu) - ja pierwzy raz o czymś tkim słyszę.
W każdym razie dzięki, jak się na coś nadzieję, to będę pytał.
Chyba w zadaniu rzeczywiście było, że x i y są dodatnie.
trudny
Awatar użytkownika
supergolonka
Moderator
Moderator
Posty: 1843
Rejestracja: 06 mar 2008, 11:53
Otrzymane podziękowania: 29 razy
Płeć:

Post autor: supergolonka »

Zadanie jak najbardziej olimpijskie (i to raczej trudniejsze niż łatwiejsze). Jeżeli Twoja pani od matematyki będzie znała nierówność Karamaty, to ja się bardzo zdziwię, a Ty możesz skakać z radości, że masz taką nauczycielkę. Jeżeli natomiast dała Ci zadanie, którego sama nie umie zrobić, to cóż... nie powinna tak robić.
trudnyproblem
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 3
Rejestracja: 25 wrz 2008, 20:55

Post autor: trudnyproblem »

Pani dała takie rozwiązanie (bez nierówności Karamaty):
Dla t z przedziału (0,1) zachodzi nierówność \(frac{1+t^2}{1+t^4}<frac{1}{t}\), bo jest rówmoważna
\(0<t^4-t^3-t+1=(1-t)(1-t^3)\) Dalej wstawiamy t=x^k i sumujemy po k=1,...,n.
Otrzymujemy:
\(sum_{k=1}^nfrac{1+x^{2k}}{1+x^{4k}}<sum_{k=1}^nfrac{1}{x^k}=frac{x^n-1}{x^n(x-1)}=frac{y^n}{x^n(1-x)\)
Dalej piszemy to samo dla t=y^n, mnożymi i wychodzi.

Pani kazała mi robić olimpiadę, ale wątpię, że zdążę. Raczej znam optymalne ustawienie wież, ale nie umiem tego udowodnić. Umiem zrobić nierówność i to wszystko.
Szkoda, że już tylko 3 dni zostały na OMa :-(, a potem pewnie pani znów mnie czymś uraczy co wykracza ponad moje możliwości.
trudny
Awatar użytkownika
supergolonka
Moderator
Moderator
Posty: 1843
Rejestracja: 06 mar 2008, 11:53
Otrzymane podziękowania: 29 razy
Płeć:

Post autor: supergolonka »

Jak się dokładnie przyjrzeć to to jest dokładnie to samo rozwiązanie, bo ja szacuję dokładnie tak samo
\(frac{1+x^{2k}}{1+x^{4k}}<frac{1+x^2}{1+x^4}cdot frac{1}{x^{k-1}}=frac{(1+x^2)x}{1+x^4}cdot frac{1}{x^{k}}<frac{1}{x^k}\)
Tylko, że ja robię to (jak się okazuje niepotrzebnie) w dwóch krokach i z Karamaty. Szacując w dwóch krokach potrzebujemy subtelniejszych nierówności i stąd wyszedł Karamata. Mój błąd, że nie zauważyłem, że można to uprościć.