Wyznaczyc wszystkie idealy w \(Z18\), (pamietajac, ze idealy sa w szczególnosci podgrupami).
Zbadac, które z nich sa pierwsze, a które maksymalne.
wyznaczyc ideały
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
kingula_36
- Rozkręcam się
- Posty: 69
- Rejestracja: 10 sty 2011, 18:33
- Podziękowania: 14 razy
-
rayman
- Stały bywalec
- Posty: 797
- Rejestracja: 13 gru 2011, 10:29
- Podziękowania: 51 razy
- Otrzymane podziękowania: 310 razy
w zasadzie to sa dwie definicje idealow. Ta moze bardziej zwiazana z pierscieniami typu \(\mathbb{Z}_{n}\) to oczywiscie addytywne podgrupy, ale mozna je takze rozwazac jako podpierscienie addytywnych pierscieni miedzy ktorymi definiujemy homomorfizm 
Zgodnie z tw Lagrange'a pierscien \(\mathbb{Z}_{18}\) bedzie mial 6 addytywnych podgrup o rzedach \(1,2,3,6,9,18\) wiec troche pisania
idealy beda mialy postac
\(<k>=\{t\cdot k ; t\in\mathbb{Z}\}\)
majac elementy pierscienia
\(\mathbb{Z}_{18}=\{[0],[1],[2],[3],[4],[5],[6],[7],[8],[9],[10],[11],[12],[13],[14],[15],[16],[17]\}\)
wiec szukamy wszystkich idealow
\(<[1]>=\{[0],[1],[2],[3],[4],[5],[6],[7],[8],[9],[10],[11],[12],[13],[14],[15],[16],[17]\}=\mathbb{Z}_{18}\)
\(<[2]>=\{[0],[2],[4],[6],[8],[10],[12],[14],[16]\}\)
\(<[3]>=\{[0],[3],[6],[9],[12],[15]\}\)
\(<[6]>=\{[0],[6],[12]\}\)
\(<[9]>=\{[0],[9]\}\)
\(<[18]>=<[0]>\)
no to szukamy idealow maksymalnych uzywajac pierscieni ilorazowych i mamy
\(\|\mathbb{Z}_{18}/_{<[6]>}\|= \|\mathbb{Z}_{18} /_{6\mathbb{Z}_{18}}\|=3\mathbb{Z}_{18}\)
oraz
\(\|\mathbb{Z}_{18}/_{<[9]>}\|= \|\mathbb{Z}_{18} /_{9\mathbb{Z}_{18}}\|=2\mathbb{Z}_{18}\)
czyli mamy dwa idealy maksymalne
i trzy idealy pierwsze
\(\mathbb{Z}_{18}\), \(2\mathbb{Z}_{18}\), \(3\mathbb{Z}_{18}\)
Zgodnie z tw Lagrange'a pierscien \(\mathbb{Z}_{18}\) bedzie mial 6 addytywnych podgrup o rzedach \(1,2,3,6,9,18\) wiec troche pisania
idealy beda mialy postac
\(<k>=\{t\cdot k ; t\in\mathbb{Z}\}\)
majac elementy pierscienia
\(\mathbb{Z}_{18}=\{[0],[1],[2],[3],[4],[5],[6],[7],[8],[9],[10],[11],[12],[13],[14],[15],[16],[17]\}\)
wiec szukamy wszystkich idealow
\(<[1]>=\{[0],[1],[2],[3],[4],[5],[6],[7],[8],[9],[10],[11],[12],[13],[14],[15],[16],[17]\}=\mathbb{Z}_{18}\)
\(<[2]>=\{[0],[2],[4],[6],[8],[10],[12],[14],[16]\}\)
\(<[3]>=\{[0],[3],[6],[9],[12],[15]\}\)
\(<[6]>=\{[0],[6],[12]\}\)
\(<[9]>=\{[0],[9]\}\)
\(<[18]>=<[0]>\)
no to szukamy idealow maksymalnych uzywajac pierscieni ilorazowych i mamy
\(\|\mathbb{Z}_{18}/_{<[6]>}\|= \|\mathbb{Z}_{18} /_{6\mathbb{Z}_{18}}\|=3\mathbb{Z}_{18}\)
oraz
\(\|\mathbb{Z}_{18}/_{<[9]>}\|= \|\mathbb{Z}_{18} /_{9\mathbb{Z}_{18}}\|=2\mathbb{Z}_{18}\)
czyli mamy dwa idealy maksymalne
i trzy idealy pierwsze
\(\mathbb{Z}_{18}\), \(2\mathbb{Z}_{18}\), \(3\mathbb{Z}_{18}\)
\(\mathbb{Z_{nm}}\cong\mathbb{Z}_{m}\times \mathbb{Z}_{n} \Leftrightarrow (m,n)=1\)
\(L\supseteq K \Rightarrow L \Rightarrow Aut(L)\subseteq Gal(L:K)\)
\(M\otimes_{R}N\to M^{\prime}\otimes_{R}N\to M^{''}\otimes_{R}N\to 0\)
\(L\supseteq K \Rightarrow L \Rightarrow Aut(L)\subseteq Gal(L:K)\)
\(M\otimes_{R}N\to M^{\prime}\otimes_{R}N\to M^{''}\otimes_{R}N\to 0\)