funkcja dwóch zmiennych

[anetaaneta1]

Zbadać ciągłość i wyznaczyć (o ile istnieję) pochodne cząstkowe funkcji w punktach
a) \(f\left( x,y\right) = \begin{cases} \frac{xy}{x ^{2} +y ^{2} } (x,y) \neq (0,0)\\ 0 (x,y)=(0,0) \end{cases}\)
w punkcie \((0,0)\)
Bardzo proszę o szybką odpowiedź pilne !
Z góry wielkie dzięki

[octahedron]

\(x=r\cos\varphi
y=r\sin\varphi
f(x,y)=\frac{r^2\sin\varphi\cos\varphi}{r^2\sin^2\varphi+r^2\cos^2\varphi}=\sin\varphi\cos\varphi=\frac{1}{2}\sin 2\varphi\)

czyli funkcja ma stałą wartość wzdłuż prostych przechodzących przez punkt \((0,0)\), dla różnych prostych jest ona różna, więc granica w \((0,0)\) nie istnieje, natomiast istnieją pochodne cząstkowe: \(f_x(0,0)=f_y(0,0)=0\)

[anetaaneta1]

A jak policzyłeś pochodne cząstkowe ? Mógłbyś wrzucić rozwiązanie ?
Bardzo mi zależy

[octahedron]

Można wprost z definicji:
\(f_x(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{0-0}{h}=0
f_y(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(0,h)-f(0,0)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{0-0}{h}=0\)

[anetaaneta1]

A jak policzyłeś \(f(0,0)=\) bo jak podstawiam to mi wychodzi ułamek \(\frac{0}{0}\)

[octahedron]

Jest podane w definicji funkcji:
\(f(x,y)= \begin{cases} \frac{xy}{x ^{2} +y ^{2} },\, (x,y) \neq (0,0)\\ 0,\, (x,y)=(0,0) \end{cases}\)
czyli \(f(0,0)=0\)

[lukasz8719]

Ciągłość możesz też sprawdzić podstawiając dwa różne ciągi zbieżne do zera np. \(x_n=y_n= \frac{1}{n}\)
i \(x_n=y_n= \frac{3}{n}\)
Dadzą one inne granice dla \((x,y) \to (0,0) (\)