Szereg

lestommy · Post autor: **lestommy** » 06 mar 2012, 19:47

\(\sum_{n=1}^{\infty} tg^2\frac{1}{n}\) jest zbieżny czy rozbieżny? jak to sprawdzić?

janekk · Post autor: **janekk** » 06 mar 2012, 19:48

np. korzystając z kryterium ilorazowego dobierając ciąg: \(\frac{1}{n^2 }\)

lestommy · Post autor: **lestommy** » 06 mar 2012, 19:55

a mógłbym prosić o rozpisanie?

janekk · Post autor: **janekk** » 06 mar 2012, 19:57

http://pl.wikipedia.org/wiki/Kryteria_z ... nicznej.29

lestommy · Post autor: **lestommy** » 06 mar 2012, 20:15

nadal nie wiem jak to ugryźć

janekk · Post autor: **janekk** » 06 mar 2012, 20:20

masz dany ciąg \(a_n\), ja podałem Tobie ciąg: \(b_n\)

masz sprawdzić czy istnieje granica i zawiera się w przedziale \(0<\lim_{x\to\infty} \frac{a_n }{b_n } <\infty\)

jeżeli tak, to w zależności jaki jest \(\sum b_n\) czy zbieżny czy nie taki sam jest szereg \(a_n\)

lestommy · Post autor: **lestommy** » 06 mar 2012, 20:27

ok, ale nie rozumiem jak mam to zastosować w tym konkretnym przykładzie...

\(\lim_{n\to\infty } \frac{tg^2\frac{1}{n}}{\frac{1}{n^2}}=\lim_{n \to \infty} (\frac{tg\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}})^2=1?\) czyli jest zbieżny?

janekk · Post autor: **janekk** » 06 mar 2012, 20:29

na jakiej podstawie zachodzą te równości...
=1 czyli dobrze dobraliśmy ciąg \(b_n\)
teraz należy sprawdzić jaki jest szereg \(b_n\) czy zbieżny czy nie, jeżeli zbieżny to i \(\sum a_n\) jest zbieżny

lestommy · Post autor: **lestommy** » 06 mar 2012, 20:31

mógłbyś to w takim razie rozpisać? bo chyba dość wyraźnie nie mogę sobie poradzić

janekk · Post autor: **janekk** » 06 mar 2012, 20:34

chodzi o to,że brakuje znaku lim, poza tym zgadza się,że to jest granica wynosi 1

lestommy · Post autor: **lestommy** » 06 mar 2012, 20:36

pisałem w pośpiechu (już poprawiłem dla potomności)

czyli jest zbieżny bo \(\frac{1}{n^2}\) jest zbieżny, tak?

janekk · Post autor: **janekk** » 06 mar 2012, 20:37

...bo szereg \(\frac{1}{n^2 }\) jest zbieżny. tak

lestommy · Post autor: **lestommy** » 06 mar 2012, 21:57

to teraz jeszcze taki przykład do sprawdzenia

:
\(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}tg\frac{1}{\sqrt{n}}\) przyrównuje go do szeregu \(\frac{1}{n\sqrt{n}}\) czyli:

\(\lim_{n\to \infty } \frac{\frac{1}{n}tg\frac{1}{\sqrt{n}}}{\frac{1}{n\sqrt{n}}}=\frac{tg\frac{1}{\sqrt{n}}}{\frac{1}{\sqrt{n}}}=1\) więc szereg jest zbieżny, bo szereg \(\frac{1}{n\sqrt{n}}\) jest zbieżny, tak?

janekk · Post autor: **janekk** » 06 mar 2012, 22:01

brakuje jednego lim, poza tym ok

lestommy · Post autor: **lestommy** » 06 mar 2012, 22:39

jeszcze z tym chciałem się upewnić

:
\(\sum_{n=1}^{\infty} nsin\frac{1}{n}\) przyrównuję do \(\frac{1}{n}\)
\(\lim_{n\to \infty}\frac{nsin\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}}=\lim_{n\to \infty}n^2 \Rightarrow \infty\) więc szereg \(nsin\frac{1}{n}\) jest rozbieżny