proszę o pomoc w rozwiązaniu:
metodą indukcji matematycznej wykaż , że dla kazdej liczby naturalnej dodatniej n:
b) liczba \(11^{n+1}+12^{2n-1}\) jest podzielna przez 133.
dziękuję
wykaż metodą indukcji matematycznej b)
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
anka
- Expert
- Posty: 6587
- Rejestracja: 29 sty 2009, 23:25
- Podziękowania: 30 razy
- Otrzymane podziękowania: 1117 razy
- Płeć:
2.\(n=k\)
\(11^{k+1}+12^{2k-1}=133a \Rightarrow 11^{k+1}=133a-12^{2k-1}\)
3. \(n=k+1\)
\(11^{(k+1)+1}+12^{2(k+1)-1}=11 \cdot 11^{k+1}+12^{2k+1}=11 \cdot (133a-12^{2k-1})+12^{2k+1}=\\11 \cdot 133a-11 \cdot 12^{2k-1}+12^{2k+1}= 11 \cdot 133a-11 \cdot 12^{2k-1}+12^{2k-1+2}= \\ 11 \cdot 133a-11 \cdot 12^{2k-1}+12^2 \cdot 12^{2k-1}=11 \cdot 133a-11 \cdot 12^{2k-1}+144 \cdot 12^{2k-1}=\\ 11 \cdot 133a+133 \cdot 12^{2k-1}=133(11 a+12^{2k-1})\)
\(11^{k+1}+12^{2k-1}=133a \Rightarrow 11^{k+1}=133a-12^{2k-1}\)
3. \(n=k+1\)
\(11^{(k+1)+1}+12^{2(k+1)-1}=11 \cdot 11^{k+1}+12^{2k+1}=11 \cdot (133a-12^{2k-1})+12^{2k+1}=\\11 \cdot 133a-11 \cdot 12^{2k-1}+12^{2k+1}= 11 \cdot 133a-11 \cdot 12^{2k-1}+12^{2k-1+2}= \\ 11 \cdot 133a-11 \cdot 12^{2k-1}+12^2 \cdot 12^{2k-1}=11 \cdot 133a-11 \cdot 12^{2k-1}+144 \cdot 12^{2k-1}=\\ 11 \cdot 133a+133 \cdot 12^{2k-1}=133(11 a+12^{2k-1})\)
Znasz odpowiedź do zadania, to ją podaj. Łatwiej będzie sprawdzić czy w rozwiązaniu zadania nie ma błędu.