całka niewłaściwa - kryterium ilorazowe

[MrVonzky]

Zbadać całkę kryt. ilorazowym
\(\int_{-\infty}^{-1} \frac{(e^{2x} +1)dx}{e^x -1}\)

\(\int_{0}^{\infty} \frac{(2^x-1)dx}{x^22^x+1}\)

\(\int_{10}^{\infty} (\frac{x+1}{x})^{x^2} e^{-x} dx\)

[octahedron]

\(\int_{-\infty}^{-1}-(e^x+1)\,dx=[-(e^x+x)]_{-\infty}^{-1}=-\infty
\lim_{x\to-\infty}\frac{\,\frac{e^{2x} +1\,}{e^x -1}}{-(e^x+1)}=\lim_{x\to-\infty}-\frac{e^{2x} +1}{e^{2x} -1}=-\frac{1}{-1}=1\)

całka rozbieżna

[octahedron]

\(\int_{0}^{\infty}\frac{1}{x^2+1}\,dx=\mbox{arctg}(\infty)-\mbox{arctg}(0)=\frac{\pi}{2}
\lim_{x\to\infty}\frac{2^x-1}{x^22^x+1}:\frac{1}{x^2+1}=\lim_{x\to\infty}\frac{1-2^{-x}}{x^2+2^{-x}}\cdot(x^2+1)=\lim_{x\to\infty}\frac{1-2^{-x}}{1+\frac{2^{-x}}{x^2}}\cdot\(1+\frac{1}{x^2}\)=\frac{1-0}{1+0}\cdot (1+0)=1\)

całka zbieżna