całki funkcji trygonometrycznych

[longer19]

\(\int_{}^{}cos8xcos5xdx=\)
\(\int_{}^{} cos^3xdx=\)

[rayman]

w pierwszej skorzystaj z tozsamosci
\(cos(x)cos(y)=\frac{1}{2}\(cos(x-y)+cos(x+y)\)\)

\(cos(x)cos(y)=\frac{1}{2}\(cos(8x-5x)+cos(8x+5x)\)\)

\(\int cos(8x)cos(5x)dx=\frac{1}{2}\int cos(3x)dx+\frac{1}{2}\int cosx(13x)dx=\frac{1}{6}sin(3x)+\frac{1}{26}sin(13x)+C\)

[longer19]

A jak rozwiązuje się takie całki?
\(\int_{}^{} sin^4xcos^3xdx=\)
\(\int_{}^{} sin^3xcos^8xdx=\)

[dadam]

\(\int_{}^{} cos^3xdx= \int_{}^{} (1-sin^2x)cosxdx=...\)

i podstawienie \(t=sinx\)
\(dt=cosxdx\)

\(...= \int_{}^{} (1-t^2)dt\)

[rayman]

poszukalem troche, na wikipedii jest wzor rekurencyjny dla takich calek....
\(\int cos^{m}(x)sin^{n}(x)dx=-\frac{cos^{m+1}(x)sin^{m+n}(x)}{n-1}+\frac{n-1}{m+n}\int cos^{m}(x)sin^{n-2}(x)dx\)

[dadam]

\(\int_{}^{} sin^4xcos^3xdx= \int_{}^{} t^4(1-t^2)dt\)

gdzie \(t=sinx\)

Ta druga podobnie \(t=cosx\)

[longer19]

\(\int_{}^{} \frac{dx}{sinx} =\)
\(\int_{}^{} \frac{dx}{sinxcosx} =\)

[Galen]

\(sinx=2sin(\frac{x}{2})cos(\frac{x}{2})= \frac{ \frac{1}{cos^2{ \frac{x}{2} }} }{2tg{ \frac{x}{2} }}\)
Teraz licznik jest pochodną mianownika,to całka jest logarytmem naturalnym...
\(\int_{}^{} \frac{dx}{sinx}=ln|tg{ \frac{x}{2} }|\)

[Galen]

Analogicznie druga:
Dzielisz licznik i mianownik przez \(cos^2x\) i masz licznik,który jest pochodna mianownika...
\(\int_{}^{} \frac{dx}{sinx cosx}= \int_{}^{} \frac{ \frac{1}{cos^2x} }{ \frac{sinx cosx}{cos^2x} }dx= \int_{}^{} \frac{ \frac{1}{cos^2x} }{tgx}dx=ln|tgx|+C\)

[longer19]

a)\(\int_{}^{} \frac{dx}{sin^2xcos^2x} =\)

b)\(\int_{}^{} \frac{dx}{sin^2xcosx}=\)

[Galen]

a)
\(\int_{}^{} \frac{1}{sin^2x cos^2x}dx= \int_{}^{} \frac{sin^2x+cos^2x}{sin^2x cos^2x}dx= \int_{}^{} \frac{sin^2x}{sin^2xcos^2x}dx+ \int_{}^{} \frac{cos^2x}{sin^2x cos^2x}dx=\)
\(= \int_{}^{} \frac{1}{cos^2x}dx+ \int_{}^{} \frac{1}{sin^2x}dx=tgx-ctgx+C\)

[longer19]

w tym b) przykładzie to doszedłem do takiego wyrazenia nie wiem jak dalej rozpisać?
\(\int_{}^{} \frac{1}{cosx}dx+ \int_{}^{} \frac{cosx}{sin^2x}dx=\)

[Galen]

Zamień cos na sin w pierwszej całce i zastosuj już obliczoną całkę z 1/sinx...
\(cosx=sin(\frac{\pi}{2}+x)\\ \int_{}^{} \frac{dx}{cosx}= \int_{}^{} \frac{dx}{sin( \frac{\pi}{2}+x) }=ln|tg( \frac{\pi}{4}+ \frac{x}{2})|\)

[Galen]

w drugim składniku podstaw
\(t=sinx\;\;\;\;dt=cosx dx\\ \int_{}^{} \frac{cosx}{sin^2x}dx= \int_{}^{} \frac{dt}{t^2}= \int_{}^{} t^{-2}dt=-t^{-1}= \frac{-1}{t}= \frac{-1}{sinx}\)
Pozostaje tylko wstawić do tej sumy całek,jaką wpisałeś.

[longer19]

\(\int_{}^{} cos^6xdx=\)
\(\int_{}^{} sin^4xcos^2xdx=\)