forum.zadania.info

Ogólna metoda:
\(I_n=\int\frac{1}{(x^2+s^2)^n}\,dx=\frac{1}{s^2}\int\frac{s^2}{(x^2+s^2)^n}\,dx=\frac{1}{s^2}\int\frac{x^2+s^2-x^2}{(x^2+s^2)^n}\,dx=
=\frac{1}{s^2}\int\frac{x^2+s^2}{(x^2+s^2)^n}\,dx+\frac{1}{s^2}\int\frac{-x^2}{(x^2+s^2)^n}\,dx=
=\frac{1}{s^2}\int\frac{1}{(x^2+s^2)^{n-1}}\,dx+\frac{1}{2(n-1)s^2}\int x\cdot \frac{-2(n-1)x}{(x^2+s^2)^n}\,dx=
=\frac{1}{s^2}I_{n-1}+\frac{1}{2(n-1)s^2}\int x\cdot \[\frac{1}{(x^2+s^2)^{n-1}}\]'\,dx=
=\frac{1}{s^2}I_{n-1}+\frac{x}{2s^2(n-1)(x^2+s^2)^{n-1}}-\frac{1}{2(n-1)s^2}\int \frac{1}{(x^2+s^2)^{n-1}}\,dx=
=\frac{1}{s^2}I_{n-1}+\frac{x}{2s^2(n-1)(x^2+s^2)^{n-1}}-\frac{1}{2(n-1)s^2}I_{n-1}=
=\frac{2n-3}{(2n-2)s^2}I_{n-1}+\frac{x}{2s^2(n-1)(x^2+s^2)^{n-1}}\)

Całkę \(I_{n-1}\) przekształcamy tak samo do wzoru zawierajacego \(I_{n-2}\) itd., aż dostaniemy \(I_1=\int\frac{1}{x^2+s^2}\,dx=\frac{1}{s}\cdot\mbox{arctg}\(\frac{x}{s}\)+C\)