forum.zadania.info

\(\int_{}^{} \frac{4x+3}{(x-2)^3}dx=\)

\(\int_{}^{} \frac{x^3+x+1}{x^4+x^2}dx=\)

w drugiej calce rozloz funkcje podcalkowa na ulamki proste
\(\frac{x^3+x+1}{x^4+x^2}=\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x^2+1}\)

\(\int\frac{x^3+x+1}{x^4+x^2}=\int\frac{1}{x}dx+\int\frac{1}{x^2}dx-\int\frac{1}{x^2+1}dx=ln|x|-\frac{1}{x}-arctg(x)+C\)


w pierwszej ta sama metoda
\(\frac{4x+3}{(x-2)^3}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{(x-2)^2}+\frac{C}{(x-2)^3}\Rightarrow \begin{cases}A=0\\B=4\\C=11\end{cases}\)

\(\int\frac{4x+3}{(x-2)^3}dx= \int\frac{4}{(x-2)^2}dx+\int\frac{11}{(x-2)^3}dx\)

teraz kazda z calek liczymy przez podstawienie

\(\int\frac{4}{(x-2)^2}dx=\begin{cases}t=x-2\therefore dt=dx\end{cases}=4\int\frac{1}{t^2}dt=-\frac{4}{t}+C=-\frac{4}{x-2}+C\)

ta w ten sam sposob
\(\int\frac{11}{(x-2)^3}=\begin{cases}t=x-2\therefore dt=dx\end{cases}dx=11\int\frac{1}{t^3}dt=-\frac{11}{2(t^2)}+C=-\frac{11}{2(x-2)^2}+C\)

ostatecznie
\(\int\frac{4x+3}{(x-2)^3}dx=-\frac{4}{x-2}-\frac{11}{2(x-2)^2}+C\)

A jak coś takiego obliczyć?
\(\int_{}^{} \frac{x+1}{x^2-4x+5}dx=\)
\(\int_{}^{} \frac{x-1}{x^2+2x+2}dx=\)

w takim wypadku trzeba kombinowac. Mozna zapisac wyrazenie jako sume ulamkow przy czym kombinowac tak zeby licznik byl pochodna mianownika
np
\(\frac{x+1}{x^2-4x+5}=\frac{3}{x^2-4x+5}+\frac{2(x-2)}{2(x^2-4x+5)}\)

teraz widac ze drugie wyrazenie bedzie latwo ''zcalkowac'' (licznik bedzie pochodna mianownika)
\(\int\frac{x+1}{x^2-4x+5}dx=\int\frac{3}{x^2-4x+5}dx+\int\frac{2(x-2)}{2(x^2-4x+5)}dx\)

\(\int\frac{2(x-2)}{2(x^2-4x+5)}dx=\frac{1}{2}\int\frac{2x-4}{x^2-4x+5}dx=\frac{1}{2}ln|x^2-4x+5|+C\)

natomiast

\(\int\frac{3}{x^2-4x+5}dx=3\int\frac{1}{(x-2)^2+1}dx=\begin{cases}t=x-2\therefore dt=dx\end{cases}
3\int\frac{1}{t^2+1}dt=3arctg(t)+C=3arctg(x-2)+C\)

\(\int\frac{x+1}{x^2-4x+5}dx=3arctg(x-2)+\frac{1}{2}ln|x^2-4x+5|+C\)

Jak obliczyć taką całkę?
\(\int_{}^{} \frac{1}{(x+1)^2+4}dx = \int_{}^{} \frac{1}{t^2+4}dt=???\)

no ta calka z Twoich wszystkich dzisiejszych calek jest najlatwiesza
tutaj robisz proste dzielenie wielomianow po podzieleniu dostajemy
\(\frac{x^3}{x+1}=x^2-x+1-\frac{1}{x+1}\)

wiec

\(\int \frac{x^3}{x+1}dx=\int x^2dx-\int xdx+\int dx-\int\frac{1}{x+1}dx=\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+x-ln|x+1|+C\)

jeszcze mam ostatnią całkę do rozwalenia. Z góry dzięki Ci rayman za pomoc i poświęcony czas
\(\int_{}^{} \frac{x^2-2x+1}{x^2+3x+2}dx\)

po podzieleniu wielomianow mamy

\(\frac{x^2-2x+1}{x^2+3x+2}=1+\frac{4}{x+1}-\frac{9}{x+2}\) no a z tego juz wychodza proste calki


\(\frac{x^2-2x+1}{x^2+3x+2}=\int dx+4\int\frac{1}{x+1}dx-9\int\frac{1}{x+2}dx=x+4ln|x+1|-9ln|x+2|+C\)