\(\int_{}^{} \frac{4x+3}{(x-2)^3}dx=\)
\(\int_{}^{} \frac{x^3+x+1}{x^4+x^2}dx=\)
całki
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
rayman
- Stały bywalec
- Posty: 797
- Rejestracja: 13 gru 2011, 10:29
- Podziękowania: 51 razy
- Otrzymane podziękowania: 310 razy
Re: całki
w drugiej calce rozloz funkcje podcalkowa na ulamki proste
\(\frac{x^3+x+1}{x^4+x^2}=\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x^2+1}\)
\(\int\frac{x^3+x+1}{x^4+x^2}=\int\frac{1}{x}dx+\int\frac{1}{x^2}dx-\int\frac{1}{x^2+1}dx=ln|x|-\frac{1}{x}-arctg(x)+C\)
w pierwszej ta sama metoda
\(\frac{4x+3}{(x-2)^3}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{(x-2)^2}+\frac{C}{(x-2)^3}\Rightarrow \begin{cases}A=0\\B=4\\C=11\end{cases}\)
\(\int\frac{4x+3}{(x-2)^3}dx= \int\frac{4}{(x-2)^2}dx+\int\frac{11}{(x-2)^3}dx\)
teraz kazda z calek liczymy przez podstawienie
\(\int\frac{4}{(x-2)^2}dx=\begin{cases}t=x-2\therefore dt=dx\end{cases}=4\int\frac{1}{t^2}dt=-\frac{4}{t}+C=-\frac{4}{x-2}+C\)
ta w ten sam sposob
\(\int\frac{11}{(x-2)^3}=\begin{cases}t=x-2\therefore dt=dx\end{cases}dx=11\int\frac{1}{t^3}dt=-\frac{11}{2(t^2)}+C=-\frac{11}{2(x-2)^2}+C\)
ostatecznie
\(\int\frac{4x+3}{(x-2)^3}dx=-\frac{4}{x-2}-\frac{11}{2(x-2)^2}+C\)
\(\frac{x^3+x+1}{x^4+x^2}=\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x^2+1}\)
\(\int\frac{x^3+x+1}{x^4+x^2}=\int\frac{1}{x}dx+\int\frac{1}{x^2}dx-\int\frac{1}{x^2+1}dx=ln|x|-\frac{1}{x}-arctg(x)+C\)
w pierwszej ta sama metoda
\(\frac{4x+3}{(x-2)^3}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{(x-2)^2}+\frac{C}{(x-2)^3}\Rightarrow \begin{cases}A=0\\B=4\\C=11\end{cases}\)
\(\int\frac{4x+3}{(x-2)^3}dx= \int\frac{4}{(x-2)^2}dx+\int\frac{11}{(x-2)^3}dx\)
teraz kazda z calek liczymy przez podstawienie
\(\int\frac{4}{(x-2)^2}dx=\begin{cases}t=x-2\therefore dt=dx\end{cases}=4\int\frac{1}{t^2}dt=-\frac{4}{t}+C=-\frac{4}{x-2}+C\)
ta w ten sam sposob
\(\int\frac{11}{(x-2)^3}=\begin{cases}t=x-2\therefore dt=dx\end{cases}dx=11\int\frac{1}{t^3}dt=-\frac{11}{2(t^2)}+C=-\frac{11}{2(x-2)^2}+C\)
ostatecznie
\(\int\frac{4x+3}{(x-2)^3}dx=-\frac{4}{x-2}-\frac{11}{2(x-2)^2}+C\)
\(\mathbb{Z_{nm}}\cong\mathbb{Z}_{m}\times \mathbb{Z}_{n} \Leftrightarrow (m,n)=1\)
\(L\supseteq K \Rightarrow L \Rightarrow Aut(L)\subseteq Gal(L:K)\)
\(M\otimes_{R}N\to M^{\prime}\otimes_{R}N\to M^{''}\otimes_{R}N\to 0\)
\(L\supseteq K \Rightarrow L \Rightarrow Aut(L)\subseteq Gal(L:K)\)
\(M\otimes_{R}N\to M^{\prime}\otimes_{R}N\to M^{''}\otimes_{R}N\to 0\)
-
rayman
- Stały bywalec
- Posty: 797
- Rejestracja: 13 gru 2011, 10:29
- Podziękowania: 51 razy
- Otrzymane podziękowania: 310 razy
w takim wypadku trzeba kombinowac. Mozna zapisac wyrazenie jako sume ulamkow przy czym kombinowac tak zeby licznik byl pochodna mianownika
np
\(\frac{x+1}{x^2-4x+5}=\frac{3}{x^2-4x+5}+\frac{2(x-2)}{2(x^2-4x+5)}\)
teraz widac ze drugie wyrazenie bedzie latwo ''zcalkowac'' (licznik bedzie pochodna mianownika)
\(\int\frac{x+1}{x^2-4x+5}dx=\int\frac{3}{x^2-4x+5}dx+\int\frac{2(x-2)}{2(x^2-4x+5)}dx\)
\(\int\frac{2(x-2)}{2(x^2-4x+5)}dx=\frac{1}{2}\int\frac{2x-4}{x^2-4x+5}dx=\frac{1}{2}ln|x^2-4x+5|+C\)
natomiast
\(\int\frac{3}{x^2-4x+5}dx=3\int\frac{1}{(x-2)^2+1}dx=\begin{cases}t=x-2\therefore dt=dx\end{cases}
3\int\frac{1}{t^2+1}dt=3arctg(t)+C=3arctg(x-2)+C\)
\(\int\frac{x+1}{x^2-4x+5}dx=3arctg(x-2)+\frac{1}{2}ln|x^2-4x+5|+C\)
np
\(\frac{x+1}{x^2-4x+5}=\frac{3}{x^2-4x+5}+\frac{2(x-2)}{2(x^2-4x+5)}\)
teraz widac ze drugie wyrazenie bedzie latwo ''zcalkowac'' (licznik bedzie pochodna mianownika)
\(\int\frac{x+1}{x^2-4x+5}dx=\int\frac{3}{x^2-4x+5}dx+\int\frac{2(x-2)}{2(x^2-4x+5)}dx\)
\(\int\frac{2(x-2)}{2(x^2-4x+5)}dx=\frac{1}{2}\int\frac{2x-4}{x^2-4x+5}dx=\frac{1}{2}ln|x^2-4x+5|+C\)
natomiast
\(\int\frac{3}{x^2-4x+5}dx=3\int\frac{1}{(x-2)^2+1}dx=\begin{cases}t=x-2\therefore dt=dx\end{cases}
3\int\frac{1}{t^2+1}dt=3arctg(t)+C=3arctg(x-2)+C\)
\(\int\frac{x+1}{x^2-4x+5}dx=3arctg(x-2)+\frac{1}{2}ln|x^2-4x+5|+C\)
\(\mathbb{Z_{nm}}\cong\mathbb{Z}_{m}\times \mathbb{Z}_{n} \Leftrightarrow (m,n)=1\)
\(L\supseteq K \Rightarrow L \Rightarrow Aut(L)\subseteq Gal(L:K)\)
\(M\otimes_{R}N\to M^{\prime}\otimes_{R}N\to M^{''}\otimes_{R}N\to 0\)
\(L\supseteq K \Rightarrow L \Rightarrow Aut(L)\subseteq Gal(L:K)\)
\(M\otimes_{R}N\to M^{\prime}\otimes_{R}N\to M^{''}\otimes_{R}N\to 0\)
-
rayman
- Stały bywalec
- Posty: 797
- Rejestracja: 13 gru 2011, 10:29
- Podziękowania: 51 razy
- Otrzymane podziękowania: 310 razy
\(\int\frac{1}{t^2+4}dt=\frac{1}{2}arctg\(\frac{t}{2}\)+C=\frac{1}{2}arctg\(\frac{x+1}{2}\)+C\)
\(\mathbb{Z_{nm}}\cong\mathbb{Z}_{m}\times \mathbb{Z}_{n} \Leftrightarrow (m,n)=1\)
\(L\supseteq K \Rightarrow L \Rightarrow Aut(L)\subseteq Gal(L:K)\)
\(M\otimes_{R}N\to M^{\prime}\otimes_{R}N\to M^{''}\otimes_{R}N\to 0\)
\(L\supseteq K \Rightarrow L \Rightarrow Aut(L)\subseteq Gal(L:K)\)
\(M\otimes_{R}N\to M^{\prime}\otimes_{R}N\to M^{''}\otimes_{R}N\to 0\)
-
rayman
- Stały bywalec
- Posty: 797
- Rejestracja: 13 gru 2011, 10:29
- Podziękowania: 51 razy
- Otrzymane podziękowania: 310 razy
no ta calka z Twoich wszystkich dzisiejszych calek jest najlatwiesza 
tutaj robisz proste dzielenie wielomianow po podzieleniu dostajemy
\(\frac{x^3}{x+1}=x^2-x+1-\frac{1}{x+1}\)
wiec
\(\int \frac{x^3}{x+1}dx=\int x^2dx-\int xdx+\int dx-\int\frac{1}{x+1}dx=\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+x-ln|x+1|+C\)
tutaj robisz proste dzielenie wielomianow po podzieleniu dostajemy
\(\frac{x^3}{x+1}=x^2-x+1-\frac{1}{x+1}\)
wiec
\(\int \frac{x^3}{x+1}dx=\int x^2dx-\int xdx+\int dx-\int\frac{1}{x+1}dx=\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+x-ln|x+1|+C\)
\(\mathbb{Z_{nm}}\cong\mathbb{Z}_{m}\times \mathbb{Z}_{n} \Leftrightarrow (m,n)=1\)
\(L\supseteq K \Rightarrow L \Rightarrow Aut(L)\subseteq Gal(L:K)\)
\(M\otimes_{R}N\to M^{\prime}\otimes_{R}N\to M^{''}\otimes_{R}N\to 0\)
\(L\supseteq K \Rightarrow L \Rightarrow Aut(L)\subseteq Gal(L:K)\)
\(M\otimes_{R}N\to M^{\prime}\otimes_{R}N\to M^{''}\otimes_{R}N\to 0\)
-
rayman
- Stały bywalec
- Posty: 797
- Rejestracja: 13 gru 2011, 10:29
- Podziękowania: 51 razy
- Otrzymane podziękowania: 310 razy
po podzieleniu wielomianow mamy
\(\frac{x^2-2x+1}{x^2+3x+2}=1+\frac{4}{x+1}-\frac{9}{x+2}\) no a z tego juz wychodza proste calki
\(\frac{x^2-2x+1}{x^2+3x+2}=\int dx+4\int\frac{1}{x+1}dx-9\int\frac{1}{x+2}dx=x+4ln|x+1|-9ln|x+2|+C\)
\(\mathbb{Z_{nm}}\cong\mathbb{Z}_{m}\times \mathbb{Z}_{n} \Leftrightarrow (m,n)=1\)
\(L\supseteq K \Rightarrow L \Rightarrow Aut(L)\subseteq Gal(L:K)\)
\(M\otimes_{R}N\to M^{\prime}\otimes_{R}N\to M^{''}\otimes_{R}N\to 0\)
\(L\supseteq K \Rightarrow L \Rightarrow Aut(L)\subseteq Gal(L:K)\)
\(M\otimes_{R}N\to M^{\prime}\otimes_{R}N\to M^{''}\otimes_{R}N\to 0\)