(a)Wypisac (sprawdzajac z denicji) wszystkie dzielniki zera i elementy odwracalne w pierscieniu\(Z12.\)
(b) Udowodnic, ze w pierscieniu Zn element a jest dzielnikiem zera wtedy i tylko wtedy, gdy \(NWD(a; n) >1\) zas jest odwracalny wtedy i tylko wtedy gdy \(NWD(a; n) = 1.\)
pierscienie
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
kingula_36
- Rozkręcam się
- Posty: 69
- Rejestracja: 10 sty 2011, 18:33
- Podziękowania: 14 razy
-
rayman
- Stały bywalec
- Posty: 797
- Rejestracja: 13 gru 2011, 10:29
- Podziękowania: 51 razy
- Otrzymane podziękowania: 310 razy
a. wypiszmy najpierw elementy pierscienia
\(\math{Z}_{12}=\{[0],[1],[2],[3],[4],[5],[6],[7],[8],[9],[10],[11]\}\)
wiemy ze \(12\) nie jest liczba pierwsza zatem pierscien \(\math{Z}_{12}\) nie jest dziedzina calkowosci i posiada dzielniki zera mianowicie
\([2]_{12}\otimes [6]_{12}=[2 \cdot 6]_{12}=[0]_{12}\) przy czym \([2]_{12} \neq 0 \wedge [6]_{12} \neq 0\)
\([3]_{12}\otimes [4]_{12}=[3 \cdot 4]_{12}=[0]_{12}\) przy czym \([3]_{12} \neq 0 \wedge [4]_{12} \neq 0\)
\([4]_{12}\otimes [6]_{12}=[4 \cdot 6]_{12}=[0]_{12}\) przy czym \([4]_{12} \neq 0 \wedge [6]_{12} \neq 0\)
\([3]_{12}\otimes [8]_{12}=[3 \cdot 8]_{12}=[0]_{12}\) przy czym \([3]_{12} \neq 0 \wedge [8]_{12} \neq 0\)
\([4]_{12}\otimes [9]_{12}=[4 \cdot 9]_{12}=[0]_{12}\) przy czym \([4]_{12} \neq 0 \wedge [9]_{12} \neq 0\)
\([6]_{12}\otimes [10]_{12}=[6 \cdot 10]_{12}=[0]_{12}\) przy czym \([6]_{12} \neq 0 \wedge [10]_{12} \neq 0\)
czyli dzielnikami pierscienia \(\mathbb{Z}_{12}\) sa klasy kongruencji
\(\{[2]_{12},[3]_{12},[4]_{12},[6]_{12},[8]_{12},[9]_{12},[10]_{12}\}\)
znalezienie elementow odwrotnych (unit, invertible elements) (strasznie obszerna konwencja nazw) opiera sie na czesci b. Elementy odwrotne to takie dla ktorych spelniona jest relacja
\(\mathbb{Z}^{*}_{12}=\{k\in\mathbb{Z}_{12} |NWD(k,12)=1\}\)
\(NWD(1,12)=1\)
\(NWD(5,12)=1\)
\(NWD(7,12)=1\)
\(NWD(11,12)=1\)
zatem elementami odwracalnymi w pierscieniu \(\mathbb{Z}_{12}\) sa
\(\{[1]_{12},[5]_{12},[7]_{12},[11]_{12}\}\)
\(\math{Z}_{12}=\{[0],[1],[2],[3],[4],[5],[6],[7],[8],[9],[10],[11]\}\)
wiemy ze \(12\) nie jest liczba pierwsza zatem pierscien \(\math{Z}_{12}\) nie jest dziedzina calkowosci i posiada dzielniki zera mianowicie
\([2]_{12}\otimes [6]_{12}=[2 \cdot 6]_{12}=[0]_{12}\) przy czym \([2]_{12} \neq 0 \wedge [6]_{12} \neq 0\)
\([3]_{12}\otimes [4]_{12}=[3 \cdot 4]_{12}=[0]_{12}\) przy czym \([3]_{12} \neq 0 \wedge [4]_{12} \neq 0\)
\([4]_{12}\otimes [6]_{12}=[4 \cdot 6]_{12}=[0]_{12}\) przy czym \([4]_{12} \neq 0 \wedge [6]_{12} \neq 0\)
\([3]_{12}\otimes [8]_{12}=[3 \cdot 8]_{12}=[0]_{12}\) przy czym \([3]_{12} \neq 0 \wedge [8]_{12} \neq 0\)
\([4]_{12}\otimes [9]_{12}=[4 \cdot 9]_{12}=[0]_{12}\) przy czym \([4]_{12} \neq 0 \wedge [9]_{12} \neq 0\)
\([6]_{12}\otimes [10]_{12}=[6 \cdot 10]_{12}=[0]_{12}\) przy czym \([6]_{12} \neq 0 \wedge [10]_{12} \neq 0\)
czyli dzielnikami pierscienia \(\mathbb{Z}_{12}\) sa klasy kongruencji
\(\{[2]_{12},[3]_{12},[4]_{12},[6]_{12},[8]_{12},[9]_{12},[10]_{12}\}\)
znalezienie elementow odwrotnych (unit, invertible elements) (strasznie obszerna konwencja nazw) opiera sie na czesci b. Elementy odwrotne to takie dla ktorych spelniona jest relacja
\(\mathbb{Z}^{*}_{12}=\{k\in\mathbb{Z}_{12} |NWD(k,12)=1\}\)
\(NWD(1,12)=1\)
\(NWD(5,12)=1\)
\(NWD(7,12)=1\)
\(NWD(11,12)=1\)
zatem elementami odwracalnymi w pierscieniu \(\mathbb{Z}_{12}\) sa
\(\{[1]_{12},[5]_{12},[7]_{12},[11]_{12}\}\)
\(\mathbb{Z_{nm}}\cong\mathbb{Z}_{m}\times \mathbb{Z}_{n} \Leftrightarrow (m,n)=1\)
\(L\supseteq K \Rightarrow L \Rightarrow Aut(L)\subseteq Gal(L:K)\)
\(M\otimes_{R}N\to M^{\prime}\otimes_{R}N\to M^{''}\otimes_{R}N\to 0\)
\(L\supseteq K \Rightarrow L \Rightarrow Aut(L)\subseteq Gal(L:K)\)
\(M\otimes_{R}N\to M^{\prime}\otimes_{R}N\to M^{''}\otimes_{R}N\to 0\)