forum.zadania.info

Wyznacz współczynniki b i c wielomianu \(w(x)=x^3-7x^2+bc+c\), jeżeli ma on trzy pierwiastki, które są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego o ilorazie q=2. Nie wiem dlaczego, ale wychodzi mi \(a_1=0\) co nie ma sensu bo nie będzie wtedy ciągu geometrycznego ;/. Jak dobrze zrobić to zadanie?

Oznacz pierwiastki :\(x_1=a\;\;x_2=2a\;\;\;x_3=4a\)
zapisz wielomian w postaci iloczynowej,wykonaj mnożenia nawiasów.
Uporządkuj uzyskany wielomian i wykorzystaj fakt,że wielomiany równe mają
te same współczynniki w wyrazach podobnych.
\(W(x)=(x-a)(x-2a)(x-4a)=(x^2-2ax-ax+2a^2)(x-4a)=x^3-7ax^2+14ax-8a^3\)
\(W(x)=x^3-7x^2+bcx+c\)
\(\{-7a=-7\\-8a^3=c\\bc=14a\)
Stąd obliczasz a,b,c
\(\{a=1\\c=-8\\-8b=14\;\;\; \Rightarrow \;\;\;b=- \frac{7}{4}\)

Wyjaśniam:
Pierwiastki wielomianu:
\(x_1=1\\
x_2=2\\
x_3=4\)
Współczynniki :
\(b=-\frac{7}{4}\\c=-8\)

mógłbyś jeszcze wyjaśnić skąd jest to \(\begin{cases} -7a=-7
-8a^3=c
bc=14a\end{cases}\)?

Wielomiany równe mają takie same współczynniki przy wyrazach tego samego stopnia.

już widzę

W rozwiązaniu zadania jest błąd, b=14 a c=8

zgubiłeś kwadrat przy a