Macierz odwrotna

[KonQbenT]

Podaj wzór na wyznaczenie macierzy odwrotnej do macierzy A i wyznacz macierzy


Odwrotnej do macierzy A=\(\begin{bmatrix}1& 2&-1 \\ 3&0&-2 \\ 4&-2&\ 5 \end{bmatrix}\)

[dadam]

Tworzymy najpierw macierz \([A_ij]\)złożoną z dopełnień algebraicznych macierzy A:
http://pl.wikipedia.org/wiki/Dope%C5%82 ... gebraiczne

\(A_{11} =(-1)^{1+1} \cdot \begin{vmatrix}\ 0 \ \ -2\\ -2\ \ 5 \end{vmatrix}=-4\)

\(A_{12} =(-1)^{1+2} \cdot \begin{vmatrix}\ 3 \ \ -2\\ 4\ \ 5 \end{vmatrix}=-23\)

\(A_{13} =(-1)^{1+3} \cdot \begin{vmatrix}\ 3 \ \ 0\\ 4\ \ -2 \end{vmatrix}=-6\)

\(A_{21} =(-1)^{2+1} \cdot \begin{vmatrix}\ 2 \ \ -1\\ -2\ \ 5 \end{vmatrix}= -8\)

\(A_{22} =(-1)^{2+2} \cdot \begin{vmatrix}\ 1 \ \ -1\\ 4\ \ 5 \end{vmatrix}=9\)

\(A_{23} =(-1)^{2+3} \cdot \begin{vmatrix}\ 1 \ \ 2\\ 4\ \ -2 \end{vmatrix}=10\)

\(A_{31} =(-1)^{3+1} \cdot \begin{vmatrix}\ 2 \ \ -1\\ 0\ \ -2 \end{vmatrix}=-4\)

\(A_{32} =(-1)^{3+2} \cdot \begin{vmatrix}\ 1\ \ -1\\ 3\ \ -2 \end{vmatrix}=-1\)

\(A_{33} =(-1)^{3+3} \cdot \begin{vmatrix}\ 1 \ \ 2\\ 3\ \ 0 \end{vmatrix}=-6\)

czyli mamy macierz:

\([A_{ij}]= \begin{bmatrix} \ -4\ \ -23\ \ -6\\ -8\ \ 9\ \ 10\\ -4\ \ -1\ \ -6 \end{bmatrix}\)


Teraz trzeba ją transponować (czyli pierwszy wiersz staje się pierwszą kolumną, drugi wiersz drugą kolumną itd):

\([A_{ij}]^T= \begin{bmatrix} \ -4\ \ -8\ \ -4\\ -23\ \ 9\ \ -1\\ -6\ \ 10\ \ -6 \end{bmatrix}\)

Aby obliczyć macierz odwrotną do macierzy A, trzeba podzielić wyrazy macierzy \([A_{ij}]^T\) przez wyznacznik macierzy A:

\(detA=-44\)

Zatem \(A^{-1}= - \frac{1}{44} \cdot \begin{bmatrix} \ -4\ \ -8\ \ -4\\ -23\ \ 9\ \ -1\\ -6\ \ 10\ \ -6 \end{bmatrix}\)