wektory

[MrVonzky]

Mam parę pytań dotyczących rachunku na wektorach:

1. Kiedy \((\vec{a} \cdot \vec{b})^2=\vec{a}^2 \cdot \vec{b}^2\)?
2. Kiedy wektor \(\alpha \vec{a} + \beta \vec{b}\) jest \(\perp\) do wektora \(\vec{a}\) ?
3. Wektor \(\vec{a}(5,3,-4)\) rozłożyć na dwa wektory składowe, z których jeden jest równoległy, a drugi \(\perp\) do wektora \(\vec{b(1,1,0)\).
4. Jaki warunek muszą spełniać współrzędne punktu \(P(x,y,z)\), aby wektor łączący poczatek układu współrzędnych z punktem \(A(3,2,-5)\) był \(\perp\) do wektora \(\vec{AP}\)?
5. Jaka zależność musi istnieć między \(x,y,z\) aby wektory \(\vec{a}\) i \(\vec{b}\) był równoległe \(\vec{a}(x,y,z), \vec{b}(3,-1,2)\)

[octahedron]

\(1.\ \.(\vec{a}\cdot\vec{b})^2=|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2\cos^2\angle(\vec{a};\vec{b})\\\vec{a}^2\cdot\vec{b}^2=|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2\}\Rightarrow (\vec{a}\cdot\vec{b})^2=\vec{a}^2\cdot\vec{b}^2 \Leftrightarrow \cos^2\angle(\vec{a};\vec{b})=1\Leftrightarrow \vec{a}\parallel\vec{b}\)

[MrVonzky]

a nie powinny prostopadłe przypadkiem, bo jak równoległe to chyba 0 jest.
EDIT: !
A nie, mój błąd

[octahedron]

\(2.\ (\alpha\vec{a}+\beta\vec{b})\perp \vec{a} \Leftrightarrow (\alpha\vec{a}+\beta\vec{b})\cdot\vec{a}=0
\alpha|\vec{a}|^2+\beta\vec{b}\cdot\vec{a}=0
\alpha|\vec{a}|^2=-\beta|\vec{b}||\vec{a}|\cos\angle(\vec{a};\vec{b})
\cos\angle(\vec{a};\vec{b})=-\frac{\alpha|\vec{a}|}{\beta|\vec{b}|}\)

[octahedron]

\(3.\ \vec{a}_{\parallel}=\vec{a}\cdot\vec{b}\cdot\(\frac{\vec{b}}{|\vec{b}|^2}\)=8\cdot\frac{[1,1,0]}{2}=[4,4,0]
\vec{a}_{\perp}=\vec{a}-\vec{a}_{\parallel}=[5,3,-4]-[4,4,0]=[1,-1,-4]\)

[octahedron]

\(4.\ \vec{OA}\perp\vec{AP} \Leftrightarrow \vec{OA}\cdot\vec{AP}=0 \Leftrightarrow 3(x-3)+2(y-2)-5(z-5)=0\)

[octahedron]

\(5.\ \vec{a}\parallel\vec{b} \Leftrightarrow \vec{a}=k\vec{b},\ k\in R\setminus\{0\} \Leftrightarrow \frac{x}{3}=\frac{y}{-1}=\frac{z}{2}\)

[MrVonzky]

możesz 3 wytłumaczyć?

[octahedron]

możesz 3 wytłumaczyć?

\(\vec{a}=\vec{a}_\parallel+\vec{a}_\perp\)
\(\vec{u}=\frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}\) - wektor jednostkowy o kierunku zgodnym z \(\vec{b}\)
\(\vec{a}\cdot\vec{u}=(\vec{a}_\parallel+\vec{a}_\perp)\cdot\vec{u}=\vec{a}_\parallel\cdot\vec{u}+\vec{a}_\perp\cdot\vec{u}=|\vec{a}_\parallel|\cdot|\vec{u}|+0=|\vec{a}_\parallel|
\vec{a}_\parallel=|\vec{a}_\parallel|\cdot \vec{u}=(\vec{a}\cdot\vec{u})\cdot\vec{u}=\(\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{b}|}\)\cdot\(\frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}\)=\vec{a}\cdot\vec{b}\cdot\(\frac{\vec{b}}{|\vec{b}|^2}\)
\vec{a}_\perp=\vec{a}-\vec{a}_\parallel\)