Witam, potrzebuję pomocy z przebiegu zmienności funkcji -
jeśli byłoby za dużo pisania to prosiłbym o wyliczenie pierwszej i drugiej pochodnej wraz z przedziałami i punktami przegięcia.
Mi jakieś liczby z kosmosu wychodzą
f(x)= \(\frac{1}{1+x^2}\)
Przebieg zmienności funkcji
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
\(f(x)=\frac{1}{1+x^2}\\D_f=R\)
\(\lim_{x\to\pm\infty}\ f(x)=0_+\)
\(f'(x)=\frac{0(1+x^2)-1\cdot2x}{(1+x^2)^2}=\frac{-2x}{(1+x^2)^2}\\f'(x)=0\ \Leftrightarrow \ x=0\\f'(x)>0\ \Leftrightarrow \ x<0\\f'(x)<0\ \Leftrightarrow \ x>0\)
\(f"(x)=\frac{-2(1+x^2)^2+2x\cdot2(1+x^2)\cdot2x}{(1+x^2)^4}=\frac{-2(1+x^2)(1+x^2-4x^2)}{(1+x^2)^4}=\\=\frac{-2(x^4-2x^2+1)}{(1+x^2)^3}=\frac{-2(x^2-1)^2}{(1+x^2)^3}\\f"(0)=-2<0\)
\(f_{max}=f(0)=1\)
\(ZW_f=(0;\ 1>\)
Wykres jest wklęsły w całej dziedzinie
\(\lim_{x\to\pm\infty}\ f(x)=0_+\)
\(f'(x)=\frac{0(1+x^2)-1\cdot2x}{(1+x^2)^2}=\frac{-2x}{(1+x^2)^2}\\f'(x)=0\ \Leftrightarrow \ x=0\\f'(x)>0\ \Leftrightarrow \ x<0\\f'(x)<0\ \Leftrightarrow \ x>0\)
\(f"(x)=\frac{-2(1+x^2)^2+2x\cdot2(1+x^2)\cdot2x}{(1+x^2)^4}=\frac{-2(1+x^2)(1+x^2-4x^2)}{(1+x^2)^4}=\\=\frac{-2(x^4-2x^2+1)}{(1+x^2)^3}=\frac{-2(x^2-1)^2}{(1+x^2)^3}\\f"(0)=-2<0\)
\(f_{max}=f(0)=1\)
\(ZW_f=(0;\ 1>\)
Wykres jest wklęsły w całej dziedzinie