Wyznaczyć asymptoty funkcji.

[Zuzia92]

Potrzebuję wyznaczyć asymptoty tej funkcji:
\(\frac{1}{x^{2}}e^{x} -x\)

[patryk00714]

\(f(x)= \frac{e^x}{x^2}-x= \frac{e^x-x^3}{x^2}\)

\(D_f=R-<0>\)

asymptota pionowa:
\(\lim_{x\to0^+ } \frac{1}{0^+}= \infty\)
\(\lim_{x\to0^- } \frac{1}{0^+}= \infty\)

asymptota pionowa obustronna w punkcie x=0

asymptota pozioma:

\(a=\lim_{x\to \infty }\frac{e^x-x^3}{x^3}=-1\)
\(b= \lim_{x\to \infty } \frac{e^x-x^3}{x^2}+x= \lim_{x\to \infty } \frac{e^x}{x^2} =0\)

asymptota pozioma \(y=-x\)

[Zuzia92]

A jak obliczyłeś asymptoty poziome?
Bo nie potrafię dojść do tego momentu żeby wyszło np to -1.
Ciągle mi wychodzi np \(\frac{ \infty - \infty }{ \infty }\) albo coś w tym stylu i nie wiem jak to zrobić

[patryk00714]

no właśnie coś mi się nie zgadza tutaj...

[Zuzia92]

a nie zgadza Ci się w tym Twoim czy w moim ?
Bo odpowiedź podałeś dobrą, ponieważ odpowiedzi mam
Tylko nie potrafię zrobić tak, żeby wyszły te odpowiedzi
a jak to rozwiązałeś ? :>

[patryk00714]

no bo wyszedłem z załozenia, że \(\lim_{x\to \infty } \frac{e^x}{x^2} =0\)
a De'l Hopital mówi że to \(\infty\), podobnie \(\lim_{x\to \infty } \frac{e^x}{x^3}\)

[Galen]

\(\lim_{x\to - \infty } \frac{ \frac{e^x}{x^2}-x }{x}= \lim_{x\to - \infty } { \frac{e^x}{x^3}-1 =-1}\)
Uzasadniam:
\(e^x \to 0\\
x^3 \to - \infty \\
\frac{0}{- \infty } \to 0\)

Oczywiście strzałka oznacza ,że wartości zmierzają do...,przy x dążącym do minus nieskończoności.

[patryk00714]

ano tak, totalne zaćmienie. Zapomniałem o minusie. Wybacz za wprowadzenie zamieszania

[Zuzia92]

Ok dzięki
A przy obliczaniu b liczy się to wzorem \(b= \lim_{x\to \infty } f(x) - a\)
Więc wiem skąd się wzięło \(\frac{e^{x} - x^{3}}{x^{2}}\) ale skąd się wzięło to \(+x\) ?
Co podstawiacie tam jako \(a\)? , bo ja bym podstawiła to \(\frac{e^{x}}{x^{3}}-1\) ale widzę, że to chyba źle myślę.

[patryk00714]

ax się podstawia

[Zuzia92]

Aa o to chodzi:D
A jeżeli by była sytuacja że \(a= \infty\) to co wtedy? ;D
I skąd wiadomo przy obliczaniu \(a\), że \(\frac{e^{x}}{6} \to 0\) ? Bo rozumiem, że tak się dzieje, gdy \(x \to - \infty\), ale skąd wiecie, że w tym przypadku dąży do - a nie + nieskończoności ? :>

[patryk00714]

jak a jest równa nieskonczonosc to asymptota pozioma nie istnieje.
Jesli chodzi o to kiedy plus, a kiedy minus to zależy od przykładu. Sa sytuacje kiedy granica dązaca do plus nieskonczonosci jest równa granicy dozacej do minus nieskonczoności. Jeżeli tak nie jest to warto sprawdzić z obu stron.

[Zuzia92]

Ok dzięki wielkie

[Zuzia92]

A jeszcze mam pytanie
Jeżeli \(\frac{0}{- \infty } \to 0\)
to czy tak samo będzie w przypadku \(\frac{0}{+ \infty }\) ?

[lukasz8719]

Tak samo