ekstremum i monotoniczność

[shesfreaky]

wyznacz ekstremum i monotonicznosc

1. y=3x - ln(2x-1)

2. y=\(\frac{1}{x}xe^3^x\)

3. y=4arctgx - ln\((x^2+1)\)

[ja_]

Zadanie 1:

y=3x - ln(2x-1)

Dziedzina. D:

\(2x-1 \rangle 0
x \rangle 1/2\)

Pochodna:

\(y' = (3x - ln(2x-1))' = 3 - 2/(2x-1)
.
y' = 0
3 - 2/(2x-1) = 0
x = 5/6
.
y' \rangle 0
3 - 2/(2x-1) \rangle 0
x \rangle 5/6
.
y' \langle 0
3 - 2/(2x-1) \langle 0
x \langle 5/6\)

Odp. Funkcja maleje w przedziale (1/2 , 5/6). Rośnie w przedziale (5/6 , nieskończoności).
Maksimum osiąga dla x=5/6 i f(5/6)=3*x-ln(2x-1)

[patryk00714]

1.
\(f(x)=3x-ln(2x-1)\)

\(D_f=( \frac{1}{2},+ \infty )\)

\(f'(x)=3- \frac{1}{2x-1} \cdot 2=3- \frac{2}{2x-1}\)
\(f'(x)=0 \Rightarrow 3= \frac{2}{2x-1} \Rightarrow 6x=5 \Rightarrow x= \frac{5}{6}\)

\(f'(x)>0 \Rightarrow x \in < \frac{5}{6},+ \infty )\) zatem f jest rosnąca w \(< \frac{5}{6},+ \infty )\)
\(f'(x)<0 \Rightarrow x \in ( \frac{1}{2}, \frac{5}{6}>\) zatem f maleje w \(( \frac{1}{2}, \frac{5}{6}>\)

minimum lokalne w \(x= \frac{5}{6}\)

[patryk00714]

domyślam się, że powinno być tak: \(f(x)=e^{3x}\)

\(f'(x)=3e^{3x}\)
\(f'(x)=0 \Rightarrow x \in \emptyset\)

f rosnąca na całej dziedzinie.

[patryk00714]

4.

\(f(x)=4arctgx-ln(x^2+1)\)

\(D_f=R\)

\(f'(x)= \frac{4}{1+x^2}- \frac{2x}{1+x^2}= \frac{4-2x}{1+x^2}\)

\(f'(x)=0 \Rightarrow x=2\)

\(f'(x)>0 \Rightarrow x \in (- \infty ,2>\) f rosnaca w \((- \infty ,2>\)
\(f'(x)<0 \Rightarrow x \in<2,+ \infty )\) f malejąca w \(<2,+ \infty )\)

maximum lokalne w \(x=2\)