Obliczyć całki

[lAlexl]

1) Obliczyć całkę nieoznaczoną: \(\int_{}^{} \frac{e^^2^x-e^x}{e^x}*xdx\)
(w liczniku w potędze jest 2x)
2) Obliczyć całkę nieoznaczoną: \(\int_{}^{} \frac{sin2x}{4+sinx}dx\)

3) Obliczyć całkę: \(\int_{}^{} \frac{ \sqrt[3]{x}+1 }{x+ \sqrt{x} }dx\) stosując podstawienie \(\sqrt[4]{x}=t\)

[Galen]

1)
Rozpisz iloczyn x przez różnicę...
\(\frac{xe^{2x}-xe^x}{e^x}=\frac{xe^{2x}}{e^x}-\frac{xe^x}{e^x}=xe^x-x\)
Całkujemy
\(\int_{}^{} xe^xdx- \int_{}^{} xdx=\{u=x\;\;u'=1\\v=e^x\;\;\;v'=e^x\)

\(=xe^x- \int_{}^{} e^xdx- \frac{1}{2}x^2=xe^x-e^x- \frac{1}{2}x^2+C\)

[ja_]

Całka 2:

Wzór na tożsamość:

sin(2x)=2sin(x)*cos(x)

\(\int_{}^{}(sin(2*x))/(4+sin(x)) dx = 2*\int_{}^{}(sin(x)*cos(x))/(4+sin(x)) dx=...\)

\(t= sin(x)
dt=cos(x)\)

\(...=2\int_{}^{} t/(t+4) dt = 2 \int_{}^{} (t+4-4)/(t+4) dt = 2*t-8 \int_{}^{} 1/t+4 dt =...\)
\(...=2*t - 8*ln(t+4) + C = 2*sin(x)-8*ln(sin(x)+4)+C\)


\(\int_{}^{}(sin(2*x))/(4+sin(x)) dx = 2*sin(x) - 8*ln(sin(x) + 4) + C\)