Całki

[lAlexl]

1. Obliczyć, całkując przez części całkę: \(\int_{}^{}xcos \frac{x}{3} dx\)
2.Obliczyć całkę nieoznaczoną \(\int_{}^{} \frac{x^2+2}{x^2+2x+2}dx\)
3. Obliczyć całkę nieoznaczoną \(\int_{}^{} (x^2+2x)*cos2xdx\)

[Galen]

1)
\(Podstaw\\
u=x\;\;\;i\;\;\;u'=1\\
v'=cos(\frac{x}{3})\;\;\;\;\;\;i\;\;\;v=3sin(\frac{x}{3})\)
\(\int_{}^{} x\cdot cos(\frac{x}{3})dx=3x sin(\frac{x}{3}) -3 \int_{}^{} sin( \frac{x}{3} ) dx=3xsin( \frac{x}{3})-3 \cdot (-3cos( \frac{x}{3}))=3x sin( \frac{x}{3} )+9 cos( \frac{x}{3} )+C\)

[rayman]

2. \(\int\frac{x^2+2}{x^2+2x+2}dx=\int\frac{x^2+2+2x-2x}{x^2+2x+2}dx=\int(1-\frac{2x}{x^2+2x+2})dx=\int dx-2\int\frac{x}{x^2+2x+2}dx=(*)\)

teraz
\(\frac{x}{x^2+2x+2}=\frac{x+1-1}{x^2+2x+2}=\frac{x+1}{x^2+2x+2}-\frac{1}{x^2+2x+2}=\frac{2x+2}{2(x^2+2x+2)}-\frac{1}{x^2+2x+2}\)

wiec wracajac do calki
\((*)=\int dx-2\int\frac{2x+2}{2(x^2+2x+2)}dx+2\int\frac{1}{x^2+2x+2}dx=(**)\)
teraz mozna zrobic podstawienie
\(\begin{cases} t=x^2+2x+2 \\ dt=(2x+2)dx\end{cases}\)
\((**)= x-\int\frac{1}{t}dt+2\int\frac{1}{(x+1)^2+1}dx=(***)\)
dla trzeciej calki robisz juz ostatnie podstawienie np \(\begin{cases}x+1=k \\ dk=dx\end{cases}\)
\((***)=x-ln(x^2+2x+2)+2\int\frac{1}{k^2+1}dk=x-ln(x^2+2x+2)+2arctan(x+1)+C\)

Niezbyt fajna ta calka

[rayman]

trzecia calka dwa razy przez czesci

mam nadzieje, ze sie gdzies w rachunkach nie pomylilem, powinno byc dobrze
\(\int (x^2+2x)cos2xdx=\begin{cases} u=x^2+2x , du=(2x+2)dx\\ dv=cos2x, v=\frac{1}{2}sin2x\end{cases}=\frac{1}{2}(x^2+2x)sin2x-\frac{1}{2}\int(2x+2)sin2xdx=
\begin{cases} u=2x+2, du=2dx\\ dv=sin2x, v=-\frac{1}{2}cos2x\end{cases}=\frac{1}{2}(x^2+2x)sin2x-\frac{1}{2}[(2x+2)(-\frac{1}{2}cos2x)+\frac{1}{2}sin2x]=
sin2x(\frac{x^2}{2}+x-\frac{1}{4})+cos2x(\frac{x}{2}+\frac{1}{2})+C\)