Znaleźć wszystkie rozwiązania układu równań
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Ponieważ rząd macierzy głównej jest równy rzędowi macierzy uzupełnionej, to układ na pewno będzie miał rozwiązanie, do tego z łatwością obliczmy, że będzie to dwuparametrowa rodzina rozwiązań (liczba niewiadomych 4 - liczba równań 2). Przyjmijmy, że parametrami będą \(w,z\). Mamy wtedy układ
\(\left\{\begin{array}{c}2x+3y=1-z-2w\\ x-y=2-8z+w\end{array}\right.\)
Wyznacznik głowny
\(W=\begin{vmatrix} 2&3\\1&-1\end{vmatrix}=-2-3=-5\)
Wyznaczniki szczegółowe
\(W_x=\begin{vmatrix}1-z-2w&3\\2-8z+w&-1\end{vmatrix}=-1+z+2w-6+24z-3w=-7+25z-w\)
\(W_y=\begin{vmatrix}2&1-z-2w\\1&2-8z+w\end{vmatrix}=4-16z+2w-1+z+2w=3-15z+4w\)
Ostatecznie otrzymujemy rozwiązanie
\(\left\{\begin{array}{l}
z=t\\ w=u\\ x=\frac{-7+25t-u}{-5}\\y=\frac{3-15t+4u}{-5} \end{array}\right.\quad\quad\quad t,u\in\mathbb{R}\)
\(\left\{\begin{array}{c}2x+3y=1-z-2w\\ x-y=2-8z+w\end{array}\right.\)
Wyznacznik głowny
\(W=\begin{vmatrix} 2&3\\1&-1\end{vmatrix}=-2-3=-5\)
Wyznaczniki szczegółowe
\(W_x=\begin{vmatrix}1-z-2w&3\\2-8z+w&-1\end{vmatrix}=-1+z+2w-6+24z-3w=-7+25z-w\)
\(W_y=\begin{vmatrix}2&1-z-2w\\1&2-8z+w\end{vmatrix}=4-16z+2w-1+z+2w=3-15z+4w\)
Ostatecznie otrzymujemy rozwiązanie
\(\left\{\begin{array}{l}
z=t\\ w=u\\ x=\frac{-7+25t-u}{-5}\\y=\frac{3-15t+4u}{-5} \end{array}\right.\quad\quad\quad t,u\in\mathbb{R}\)