Prosta i płaszczyzna

[grzesiek1992]

Dany jest punkt \(P=(2,3,1)\) oraz prosta l \(x=1-3t\),\(y=t\), \(z=2-t\)

a) Znaleźć przedstawienie parametryczne prostej prostopadłej do l i przechodzącej przez punkt P
b) Obliczyć odległość punktu P od prostej l

[radagast]

Dany jest punkt \(P=(2,3,1)\) oraz prosta l \(x=1-3t\),\(y=t\), \(z=2-t\)

a) Znaleźć przedstawienie parametryczne prostej prostopadłej do l i przechodzącej przez punkt P

\(l(t)=(1-3t,t,2-t) \parallel \left[-3,1,-1 \right]\)
Potrzebujemy wektora równoległego do szukanej ptostej.
Punkt L należy do prostej \(l\) jeśli \(L= \left(1-3t,t,2-t \right)\), \(\vec{LP}= \left[2-1+3t,3-t,1-2+t \right]= \left[3t+1,-t+3,t-1 \right]\)
\(\vec{LP} \perp \left[-3,1,-1 \right] \Leftrightarrow \left[3t+1,-t+3,t-1 \right] \circ \left[-3,1,-1 \right]=0 \Leftrightarrow -3t-1-t+3-t+1=0 \Leftrightarrow -5t=-3 \Leftrightarrow t=0,6\)
No to \(\vec{LP}= \left[ 2,8;2,4;-0,4\right] \parallel \left[28,24,-4 \right] \parallel \left[7,6,-1 \right]\) jest wektorem równoległym do szukanej prostej
Szukana prosta ma więc przedstawienie parametryczne \(k(l)= \left( 7t+2,6t+3,-t+1\right)\)
Mogłam się pomylić w rachunkach ale starałam się wszystko szczegółowo opisywać więc łatwo znajdziesz ewentualny błąd

[radagast]

Dany jest punkt \(P=(2,3,1)\) oraz prosta l \(x=1-3t\),\(y=t\), \(z=2-t\)
b) Obliczyć odległość punktu P od prostej l

punkt przecięcia tych prostych to \(A=l(0,6)= \left(-0,8;0,6;1,4 \right)\)
Trzeba teraz tylko policzyć długość odcinka \(\overline{AP}= \sqrt{ 2,8^2+2,4^2+0,4^2}= \sqrt{13,76}= \sqrt{ \frac{344}{25} }= \frac{2}{5} \sqrt{86}\)
Tu też mogłam się pomylić. Wynik wskazuje, ze raczej to zrobiłam

[octahedron]

wektor równoległy do \(l\):
\(\vec{u}=[-3,1,-1]\)
\(l\) przechodzi przez \(A=(1,0,2)\):
\(\vec{AP}=[1,3,-1]
\vec{\gamma}=\vec{AP}-\frac{(\vec{AP}\cdot\vec{u})}{|\vec{u}|}\cdot\frac{\vec{u}}{|\vec{u}|}=[1,3,-1]-([1,3,-1]\cdot[-3,1,-1])\frac{[-3,1,-1]}{11}=
=[1,3,-1]-\frac{[-3,1,-1]}{11}=\frac{2}{11}[7,16,-5]\)
\(\vec{\gamma}\) jest prostopadły do \(\vec{u}\), czyli też do prostej \(l\), a jego długość jest równa odległości punktu \(P\) od \(l\):
\(a){\{x=7t+2\\y=16t+3\\z=-5t+1}
b)d(P,l)=|\vec{\gamma}|=\frac{2\sqrt{330}}{11}\)