Witaam czy mógłbym prosić o pomoc w rozwiązaniu tego równania zespolonego: z^6+(1-i)*z^3-i=0
Dziękuję za pomoc:)
Liczby zespolone
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
torpeda121
- Witam na forum
- Posty: 3
- Rejestracja: 08 lut 2012, 14:25
- Podziękowania: 1 raz
Na początek podstawienie \(z^3=w\), wtedy mamy równanie
\(w^2+(1-i)w-i=0\)
\(\Delta=1-2i-1+4i=2i\)
\(arg\Delta=\frac{\pi}{2},\ |\Delta|=2,\ \sqrt{\Delta}=\sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=1+i\)
\(w_1=\frac{-1+i-1-i}{2}=-1,\ w_2=\frac{-1+i+1+i}{2}=i\)
Wracamy do niewiadomej \(z\)
\(z^3=-1\vee z^3=i\)
\(z=\sqrt[3]{-1}\vee z=\sqrt[3]{i}\)
no i zadanie sprowadza się do obliczenia pierwiastków trzeciego stopnia z tych liczb, a to robimy już łatwo ze wzorów.
\(w^2+(1-i)w-i=0\)
\(\Delta=1-2i-1+4i=2i\)
\(arg\Delta=\frac{\pi}{2},\ |\Delta|=2,\ \sqrt{\Delta}=\sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=1+i\)
\(w_1=\frac{-1+i-1-i}{2}=-1,\ w_2=\frac{-1+i+1+i}{2}=i\)
Wracamy do niewiadomej \(z\)
\(z^3=-1\vee z^3=i\)
\(z=\sqrt[3]{-1}\vee z=\sqrt[3]{i}\)
no i zadanie sprowadza się do obliczenia pierwiastków trzeciego stopnia z tych liczb, a to robimy już łatwo ze wzorów.