Relacje, klasy abstrackji, indukcja matematyczna

[lampard92]

Poroszę o pomoc w tych zadaniach
za 2 dni egzamin a nie wiem jak rozwiązać te zadania
Będe bradzo wdzięczny za wszleką pomoc

zad 1
Niech \(f: R \to R\) będzie funkcją. W zbiorze \(R\) określamy relacje \(S\) następująco
\(x1Sx2 \Leftrightarrow (f(x1) \ge 0 \wedge f(x2) \ge 0) \vee f(x1) <0 \wedge f(x2) <0) dla x1,x2 \in R\)
a) udowodnić że S jest relacją równoważności
b) wyznaczyć klasy abstrakcji tej relacji dla funkcji \(f(x)= |x^2-5x+9| - |x-6|\)

zad 2
Niech \(f:N \to N\) będzie funkcją daną wzorem \(f(n) = 2n \ dla \ n \ \in N\)
Czy funkcja \(F: N^N \to N^N\) określona następująco:
\(F(\varphi) = \varphi \ \circ \ f \ dla \ \varphi \ \in \ N^N\)

zad 3
Niech \({an}\) będzie ciągiem Fibonacciego. Udowodnić, że dla dowolnej liczby naturalnej \(n \ge 1\) zachodzi:
\(a_{n-1}a_{n+1} \ - a^2_n = (-1)^n\)

zad 4
Udowodnić że iloczyn kartezjański zbiorów skończonych jest zbiorem skończonym, tzn
\(|a|=m \ \wedge |B|=n \ \Rightarrow |AxB|= \ m*n\)

zad 5
Czy dla dowolnej funckji \(f\) i dla zbioru \(B \subset R(f)\) zachodzi następująca nierówność między mocami zbiorów \(|f^{-1} (B) \le |B|?\) Jeżeli tak, to podać jej dowód, jeżeli nie podać kontrprzykład.

[radagast]

zad 1
Niech \(f: R \to R\) będzie funkcją. W zbiorze \(R\) określamy relacje \(S\) następująco
\(x1Sx2 \Leftrightarrow (f(x1) \ge 0 \wedge f(x2) \ge 0) \vee f(x1) <0 \wedge f(x2) <0) dla x1,x2 \in R\)
a) udowodnić że S jest relacją równoważności
b) wyznaczyć klasy abstrakcji tej relacji dla funkcji \(f(x)= |x^2-5x+9| - |x-6|\)

\(x_1Sx_2 \Leftrightarrow (f(x_1) \ge 0 \wedge f(x_2) \ge 0) \vee f(x_1) <0 \wedge f(x_2) <0) dla x_1,x_2 \in R\)
a)
\(S\) jest zwrotna , bo \(xSx\) , bo znak \(f(x)\) jest niezmienny
\(S\) jest symetryczna, bo jeśli \(x_1Sx_2\) to
\((f(x_1) \ge 0 \wedge f(x_2) \ge 0) \vee f(x_1) <0 \wedge f(x_2) <0)\) czyli
\((f(x_1) \ge 0 \wedge f(x_2) > 0) \vee f(x_1) =0 \wedge f(x_2) =0 \vee f(x_1) <0 \wedge f(x_2) <0)\) czyli \(x_2Sx_1\)
\(S\) jest przechodnia, bo
\(x_1Sx_2 \wedge x_2Sx_3 \Rightarrow
(f(x_1) \ge 0 \wedge f(x_2) \ge 0) \vee f(x_1) <0 \wedge f(x_2) <0) \wedge
(f(x_2) \ge 0 \wedge f(x_3) \ge 0) \vee f(x_2) <0 \wedge f(x_3) <0) \Rightarrow
(f(x_1) \ge 0 \wedge f(x_3) \ge 0) \vee f(x_1) <0 \wedge f(x_3) <0)\)
czyli
\(x_1Sx_3\)
b)
Zauważywszy, że podana funkcja ma taki wykres:

ScreenHunter_376.jpg (13.44 KiB) Przejrzano 476 razy

stwierdzam, że relacja \(S\) ma w tym wypadku dwie klasy abstrakcji:
pierwsza jest taka: \(\left(- \infty ,1 \right> \cup \left<3,+ \infty \right)\)
a druga jest taka: \(\left(1,3 \right)\)