Wyznaczyć wszytskie asymptoty funkcji

[Kucyk646]

\(f(x)=3x+\frac{4}{5+x}\)

[ja_]

Asymptota pionowa:
\(f(x)=3*x+4/(5+x)\)
Dziedzina: \(5+x \neq 0\)
\(x \neq -5\)
granica prawo i lewostronna z dal\(x \to (-5)\):

\(\lim_{x\to -5 (z lewej)} (3x+4/(5+x))=- \infty\)
\(\lim_{x\to -5 (z prawej)} (3x+4/(5+x))= \infty\)

Asymptoty skośne i poziome:

\(a=\lim_{x\to (+/- \infty )} ((3x+4/(5+x))/x)=3\)
\(b=\lim_{x\to (+/- \infty )} (3x+4/(5+x)-3*x)=0\)

Równanie asymptoty skośnej :
y=a*x+b
y=3*x

Odp.: Funkcja posiada asymptotę pionową w punkcie x= -5 i asymptotę skośną o równaniu y=3x.

[22mz]

\(f(x)=3x+\frac{4}{5+x}\)
\(D: 5+x \neq 0\)
\(x \neq -5\)
\(D=(- \infty ,-5) \cup (-5, \infty )\)
Liczymy granice na krańcach przedziału (ale nie w \(- \infty , \infty)\)
\(\lim_{x\to{-5}^- }(3x+ \frac{4}{5+x})=[-15+ \frac{4}{0^-}]=- \infty\)
\(\lim_{x\to{-5}^+ }(3x+ \frac{4}{5+x})=[-15+ \frac{4}{0^+}]=+ \infty\)

\(x=-5\) asymptota pionowa obustronna

\(y=ax+b\) asymptota ukośna
\(a= \lim_{x\to \infty } \frac{f(x)}{x}\)
\(b= \lim_{x\to \infty } (f(x)-ax)\)

\(a=\lim_{x\to \infty } \frac{f(x)}{x}\)=\(\lim_{x\to \infty } \frac{3x+ \frac{4}{5+x} }{x}= \lim_{x\to \infty } \frac{ \frac{3x(5+x)+4}{5+x} }{x} = \lim_{x\to \infty } \frac{15x+3x^2+4}{5+x}* \frac{1}{x}= \lim_{x\to \infty } \frac{3x^2+15x+4}{x^2+5x}=3\)

\(b= \lim_{x\to \infty } (f(x)-ax)\)=\(\lim_{x\to \infty }(3x+ \frac{4}{5+x}-3x)= \lim_{x\to \infty } ( \frac{4}{5+x})= \frac{4}{5}\)

\(y=3x+ \frac{4}{5}\) asymptota ukośna w \(- \infty , + \infty\)
jak sie gdzies nie pomylilam to chyba tak

[Kucyk646]

a mógłby ktoś jeszcze skomentować które rozwiązanie granicy b jest dobre?

[anka]

ja_ policzył dobrze to \(b\)

22mz ma błąd na samym końcu
\(b= \lim_{x\to \infty } ( \frac{4}{5+x}) \neq \frac{4}{5}\)

powinno być:
\(b= \lim_{x\to \infty } ( \frac{4}{5+x}) =0\)