Sprawdzić czy układ wektorów \(v(1)=[i,0,1], v(2)=[1,i,0], v(3)=[0,1,1]\) jest bazą przestrzeni wektorowej \(C^3\) nad ciałem \(C\).
Proszę o pomoc.
Sprawdzanie układu wektorów czy jest bazą przestrzeni wektor
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
octahedron
- Expert
- Posty: 6762
- Rejestracja: 19 mar 2011, 00:22
- Otrzymane podziękowania: 3034 razy
- Płeć:
\(\begin{bmatrix}i&0&1\\1&i&0\\0&1&1\end{bmatrix}\ w_3-w_1
\begin{bmatrix}i&0&1\\1&i&0\\-i&1&0\end{bmatrix}\ w_3+iw_2
\begin{bmatrix}i&0&1\\1&i&0\\0&0&0\end{bmatrix}\)
ostatni wiersz się wyzerował, więc wektory są liniowo zależne i nie tworzą bazy
Można też policzyć wyznacznik:
\(\det\begin{bmatrix}i&0&1\\1&i&0\\0&1&1\end{bmatrix}=i\cdot\det\begin{bmatrix}i&0\\1&1\end{bmatrix}+\det\begin{bmatrix}1&i\\0&1\end{bmatrix}=i\cdot i+1=-1+1=0\)
wyznacznik się zeruje, czyli są zależne i nie tworzą bazy
\begin{bmatrix}i&0&1\\1&i&0\\-i&1&0\end{bmatrix}\ w_3+iw_2
\begin{bmatrix}i&0&1\\1&i&0\\0&0&0\end{bmatrix}\)
ostatni wiersz się wyzerował, więc wektory są liniowo zależne i nie tworzą bazy
Można też policzyć wyznacznik:
\(\det\begin{bmatrix}i&0&1\\1&i&0\\0&1&1\end{bmatrix}=i\cdot\det\begin{bmatrix}i&0\\1&1\end{bmatrix}+\det\begin{bmatrix}1&i\\0&1\end{bmatrix}=i\cdot i+1=-1+1=0\)
wyznacznik się zeruje, czyli są zależne i nie tworzą bazy