Macierzą odwzorowania \(f: R^3 -> R^2\) w bazach kanonicznych jest \(M= \begin{bmatrix} 1&2&0\\2&0&3 \end{bmatrix}w R^2\) wybieramy bazę \(b(1)=[0,1], b(2)=[1,0]\). W \(R^3\) wybieramy bazę \(c(1)=[2,0,1], c(2)=[1,3,2], c(3)=[4,0,3]\). Znaleźć macierz \(f\) w nowych bazach.
Bardzo proszę o rozwiązanie i dokładne wytłumaczenie.
Znaleźć macierz f w nowych bazach
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
octahedron
- Expert
- Posty: 6762
- Rejestracja: 19 mar 2011, 00:22
- Otrzymane podziękowania: 3034 razy
- Płeć:
Macierz zmiany bazy z \(c\) na kanoniczną \(e\) wygląda tak:
\(M_{ec}=\begin{bmatrix}2&1&4\\0&3&0\\1&2&3\end{bmatrix}\)
jak widać, kolumny to wektory \(c(1)\),\(c(2)\) i \(c(3)\), analogicznie macierz przejścia z bazy \(b\) do kanonicznej \(e\) to:
\(M_{eb}=\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}\)
natomiast jej odwrotność jest macierzą przejścia z bazy kanonicznej do \(b\):
\(M_{be}=M_{eb}^{-1}=\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}\)
zatem szukana macierz to:
\(M'=M_{be}\cdot M\cdot M_{ec}= \begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&2&0\\2&0&3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2&1&4\\0&3&0\\1&2&3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}7&8&17\\2&7&4\end{bmatrix}\)
\(M_{ec}=\begin{bmatrix}2&1&4\\0&3&0\\1&2&3\end{bmatrix}\)
jak widać, kolumny to wektory \(c(1)\),\(c(2)\) i \(c(3)\), analogicznie macierz przejścia z bazy \(b\) do kanonicznej \(e\) to:
\(M_{eb}=\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}\)
natomiast jej odwrotność jest macierzą przejścia z bazy kanonicznej do \(b\):
\(M_{be}=M_{eb}^{-1}=\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}\)
zatem szukana macierz to:
\(M'=M_{be}\cdot M\cdot M_{ec}= \begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&2&0\\2&0&3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2&1&4\\0&3&0\\1&2&3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}7&8&17\\2&7&4\end{bmatrix}\)