Ekstrema, przedziały wypukłości

[shesfreaky]

1. Wyznaczyć ekstrema lokalne: F(x)=\(\frac{x}{2}+ \frac{2}{x}\)

2. Znaleźć przedziały wypukłości: F(x)=\(2xe^2^x\)

[irena]

1.
\(f(x)=\frac{x}{2}+\frac{2}{x}\\f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{2}{x^2}\\f'(x)=0\\\frac{2}{x^2}=\frac{1}{2}\\x^2=4\\x=2\ \vee\ x=-2\\f"(x)=\frac{4}{x^3}\\f"(2)=\frac{4}{8}>0\\f"(-2)=\frac{4}{-8}<0\\f_{min}=f(2)=1+1=2\\f_{max}=f(-2)=-1-1=-2\)

[jola]

zad 2
\(f'(x)=2e^{2x}(1+2x)\)

\(f''(x)=8e^{2x}(x+1)\)

\(f''(x)>0\ \ \ \Rightarrow \ \ x>-1\ \ \Rightarrow \ \\)dla \(x \in (-1;+ \infty )\\)funkcja wypukła

\(f''(x)<0\ \ \ \Rightarrow \ \ x<-1\ \ \ \Rightarrow \ \ dla\ x \in (- \infty ;-1)\\)funkcja wklęsła

[irena]

2.
\(f(x)=2xe^{2x}\\f'(x)=2e^{2x}+2xe^{2x}\cdot2=(4x+2)e^{2x}\\f"(x)=4e^{2x}+(4x+2)e^{2x}\cdot2=(8x+8)e^{2x}\\f"(x)>0\\8x+8>0\\x>-1\\f"(x)<0\\x<-1\)

Wykres jest wypukły dla \(x\in(-1;\ \infty)\)

Wykres jest wklęsły dla \(x\in(-\infty;\ -1)\)

Dla \(x=-1\) jest punkt przegięcia.