macierze, odległość między prostymi, układy równań, wektory

[ewik8113]

1) Znaleźć macierz odwzorowania liniowego \(h([x; y]) = [3x-y; 4x + 5y]\) w bazie kanonicznej oraz w bazie \(B = ([2, 1], [1, 1])\).

2) W zależności od parametru \(k \in Q\) rozwiązać w liczbach zespolonych układ równań

\(2x + 3y + kz + 2w = 1\)
\(x - ky + 8z - w = 2\)

3) Znaleźć wartości i podprzestrzenie własne macierzy o wyrazach
rzeczywistych
\(\begin{bmatrix}7& 4 \\ 4&7\end{bmatrix}\)

4) W zależności od parametru p znaleźć \(\vec{u}\times \vec{v}\) i \(\vec{u} \cdot \vec{v}\), gdzie
\(\vec{u} = [2, 3, p]\), \(\vec{v} = [p, 1, 7]\). Kiedy te wektory są prostopadłe, a kiedy równoległe?

5) [6 p.] Obliczyć odległość pomiędzy prostymi
\(l1: \begin{cases}x=2-s\\y=4+s\\z=7+2s \end{cases}\)

\(l2: \begin{cases}x=1+t\\y=3+2t\\z=5-t\end{cases}\)
oraz kąt pomiędzy l1 i płaszczyzną \(\pi : 2x - 3y + 5z = 1\).

Jest to dla mnie bardzo ważne. Proszę o rozwiązanie

[radagast]

5)Obliczyć odległość pomiędzy prostymi
\(l1: \begin{cases}x=2-s\\y=4+s\\z=7+2s \end{cases}\)

\(l2: \begin{cases}x=1+t\\y=3+2t\\z=5-t\end{cases}\)

Te proste nie są niestety równoległe. Należy więc znaleźć najmniejszą wartość funkcji
\(d(t,s)= \sqrt{ (2-s-1-t)^2+(4+s-3-2t)^2+(7+2s-5+t)^2}=\sqrt{ (1-s-t)^2+(1+s-2t)^2+(2+2s+t)^2}=\)

lub
poprowadzić płaszczyznę przez jedną z tych prostych równoległą do drugiej. Odległość tej, która jest równoległa (a nie leży na płaszczyźnie) od płaszczyzny będzie szukaną odległością tych prostych

[radagast]

Wybieram tę drugą metodę:

\(\left[ -1,1,2\right] \parallel l_1\\ \left[ 1,2,-1\right] \parallel l_2\)
\(\left[ -1,1,2\right] \times \left[ 1,2,-1\right] = \left[ -5,1,-3\right]\) Jest wektorem normalnym dla szukanej płaszczyzny \(\pi\)
No to \(\pi : -5x+y-3z+C=0\), a ponieważ \(l_1 \subset \pi\) to \(\left( 2,4,7\right) \in \pi\) czyli\(-10+4-21+C=0\) stąd \(C=27\)

\(\pi : -5x+y-3z+27=0\)

Pozostało teraz znaleźć odległość prostej \(l_2\) od równoległej do niej płaszczyzny \(\pi\):
\(l_3\) niech będzie prostą prostopadłą do \(\pi\), przecinającą \(l_2\) w punkcie \(A=\left( 1,3,5\right)\)
Przedstawienie parametryczne \(l_3\) to: \(l_3(t)= \left( -5t+1,t+3,-3t+5\right)\)
Wyznaczmy punkt przecięcia \(l_3\) z \(\pi\):
\(-5(-5t+1)+t+3-3(-3t+5)+27=0\)
\(25t-5+t+3+9t-15+27=0\)
\(35t=-10\)
\(t=- \frac{2}{7}\)
No to punkt przecięcia to \(\left( \frac{10}{7}+1,- \frac{2}{7}+3, \frac{6}{7}+5\right)= \left( \frac{17}{7}, \frac{19}{7}, \frac{41}{7}\right)=B\)

\(\left|AB\right|= \sqrt{ \left( \frac{17}{7}-1\right)^2 + \left( \frac{19}{7}-3\right) ^2+ \left(\frac{41}{7}-5 \right)^2}= \sqrt{ \left( \frac{10}{7}\right)^2 + \left( \frac{2}{7}\right) ^2+ \left(\frac{6}{7} \right) ^2}= \frac{ \sqrt{140} }{7}= \frac{2 \sqrt{35} }{7}\) to szukana odległość

Coś tam na końcu chyba naokoło poszłam ale tak wyszło... Jak umiesz to sobie uprość. No i koniecznie przeanalizuj czy się rachunki zgadzają. Starałam się wszystko opisywać. Jeśli nie wystarczająco - pytaj

[radagast]

[6 p.]
\(l1: \begin{cases}x=2-s\\y=4+s\\z=7+2s \end{cases}\)

... oraz kąt pomiędzy l1 i płaszczyzną \(\pi : 2x - 3y + 5z = 1\).

Zrzutujmy \(l_1\) na \(\pi\):
W tym celu poprowadźmy prostą \(l\) prostopadłą do \(\pi\) przechodzącą przez \(A=\left( 2,4,7\right)\):
\(l(t)= \left(2t+2,-3t+4,5t+7 \right)\). Przecina ona \(\pi\) w punkcie \(P\) odpowiadającym parametrowi \(t\) spełniającemu równanie:
\(2(2t+2) - 3(-3t+4) + 5(5t+7) = 1
4t+4+9t-12+25t+35=1
38t=-26
t= \frac{13}{19}\)
czyli \(P= \left( 2 \cdot \frac{13}{19}+2,-3 \cdot \frac{13}{19}+4,5 \cdot \frac{13}{19}+7\right)= \left( \frac{64}{19},\frac{37}{19},\frac{198}{19}\right)\)
Albo ja tak kiepsko liczę, albo Wasz nauczyciel ie postarał się o ładne wyniki. Niestety obawiam się, ze to pierwsze
W każdym razie szukany kąt to kąt między wektorami \(\vec{AP}\) oraz \(\left[ -1,1,2\right]\). A na to to już są wzory. O choćby tu : http://www.math.edu.pl/kat-miedzy-wektorami

[radagast]

4) W zależności od parametru p znaleźć \(\vec{u}\times \vec{v}\) i \(\vec{u} \cdot \vec{v}\), gdzie
\(\vec{u} = [2, 3, p]\), \(\vec{v} = [p, 1, 7]\). Kiedy te wektory są prostopadłe, a kiedy równoległe?

\(\vec{u} \cdot \vec{v}= [2, 3, p] \cdot [p, 1, 7]=2p+3 \cdot 1+7p= 9p+3\)
\(\vec{u} \times \vec{v}= [2, 3, p] \times [p, 1, 7]= \left[21-p,p^2-14,2-3p \right]\)
\(\vec{u} \perp \vec{v} \Leftrightarrow \vec{u} \cdot \vec{v}=0 \Leftrightarrow p=- \frac{1}{3}\)
\(\vec{u} \parallel \vec{v} \Leftrightarrow |\vec{u} \times \vec{v}|=0 \Leftrightarrow\)... o nie to się nie opłaca...Lepiej tak:
\(\vec{u} \parallel \vec{v} \Leftrightarrow \frac{p}{2}= \frac{1}{3} = \frac{7}{p}\) - sprzeczność (nigdy tak nie będzie)