liczby zespolone-własności

[kaziolo]

Niech \(z_{1},z_{2} \in C \setminus \left\{0 \right\}\)
\(z_{1}=|z_{1}|(cos\varphi_{1} + isin\varphi_{1})\)
\(z_{2}=|z_{2}|(cos\varphi_{2} + isin\varphi_{2})\)
Wówczas
\(\frac{z_{1}}{z_{2}}= \frac{|z_{1}|}{z_{2}}(cos(\varphi_{1}-\varphi_{2})+isin(\varphi_{1}-\varphi_{2})\)
Udowodnij, że taka zależność zachodzi.

[octahedron]

\(\frac{z_1}{z_2}=\frac{|z_1|}{|z_2|}\cdot\frac{\cos\varphi_1+i\sin\varphi_1}{\cos\varphi_2+i\sin\varphi_2}=\frac{|z_1|}{|z_2|}\cdot\frac{(\cos\varphi_1+i\sin\varphi_1)(\cos\varphi_2-i\sin\varphi_2)}{(\cos\varphi_2+i\sin\varphi_2)(\cos\varphi_2-i\sin\varphi_2)}=
=\frac{|z_1|}{|z_2|}\cdot\frac{\cos\varphi_1\cos\varphi_2+\sin\varphi_1\sin\varphi_2+i(\sin\varphi_1\cos\varphi_2-\sin\varphi_2\cos\varphi_1)}{\cos^2\varphi_2+\sin^2\varphi_2}=\frac{|z_1|}{|z_2|}[\cos(\varphi_1-\varphi_2)+i\sin(\varphi_1-\varphi_2)]\)

[kaziolo]

dziękuję