iloczyn skalarny

[malineczka8888]

1) Dane są wektory \(\vec{u} , \vec{v}\) na płaszczyźnie takie że \(\vec{u} \circ \vec{v}=-1\) oraz długości wektorów \(\vec{u} , \vec{v}\) są odpowiednio równe \(\sqrt{3} oraz \sqrt{2}\).
a. Oblicz \(\vec{p} \circ \vec{q}\)gdzie \(\vec{p}=2 \vec{u}-3 \vec{v}\),\(\vec{q}=- \vec{u}+2 \vec{v}\)
b. Oblicz długości wektorów \(\vec{p} i \vec{q}\)
c. Wyznacz stałą \(\alpha\) tak aby wektory \(\vec{p} i \vec{q}- \alpha \vec{p}\) były prostopadłe

[escher]

a. \(vec{p}\circ\vec{q}=(2\vec{u}-3\vec{v})(-\vec{u}+2\vec{v})=-2\vec{u}^2+4\vec{u}\circ\vec{v}-3\vec{u}\circ\vec{v}-6\vec{v}^2=-2\cdot 3-1-6\cdot 2=-19\)

b. Kwadraty długości otrzymamy obliczając \(\vec{p}\circ\vec{p}\) i \(\vec{q}\circ\vec{q}\) analogicznie do podpunktu a.

c. Wektory są prostopadłe, gdy ich iloczyn skalarny wynosi 0, czyli mamy równanie
\(\vec{p}\circ(\vec{q}-\alpha\vec{p}=0\), czyli

\((2\vec{u}-3\vec{v})\circ( (-1-2\alpha)\vec{u} +(2+3\alpha)\vec{v})=0\), co po wymnożeniu i wstawieniu danych z zadania daje
\(2(-1-2\alpha)\cdot 3 +2(2+3\alpha)(-1)-3(-1-2\alpha)(-1)-3(2+3\alpha)3=0\)
Wolfram mówi, że to daje \(\alpha=-\frac{31}{51}\), więc gdzieś mogłem się pomylić w rachunkach, ale metoda jest w porządku.
escher