Ciąg rekurencyjny

[martaaa7]

Ciąg \(a_n\) określony jest rekurencyjnie
\(a_1=3\)
\(a_2=3\)
\(a_{n+2}=a_{n+1}+2a_n\) Wyznacz a11

[martaaa7]

Wyszło mi 2049 mógłby to ktoś potwierdzić?

[octahedron]

\(a_{n+2}=a_{n+1}+2a_n
A(x)=\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}x^{n-1}=a_1+a_2x+\sum_{n=3}^{\infty}a_{n}x^{n-1}=a_1+a_2x+\sum_{n=1}^{\infty}a_{n+2}x^{n+1}=
=a_1+a_2x+\sum_{n=1}^{\infty}(a_{n+1}+2a_n)x^{n+1}=a_1+a_2x+\sum_{n=1}^{\infty}a_{n+1}x^{n+1}+2\sum_{n=1}^{\infty}a_nx^{n+1}=
=a_1+a_2x+\sum_{n=2}^{\infty}a_{n}x^{n}+2\sum_{n=1}^{\infty}a_nx^{n+1}=a_1+a_2x-a_1x+\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}x^{n}+2\sum_{n=1}^{\infty}a_nx^{n+1}=
=a_1+x\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}x^{n-1}+2x^2\sum_{n=1}^{\infty}a_nx^{n-1}=3+xA(x)+2x^2A(x)
A(x)(1-x-2x^2)=3
A(x)=\frac{3}{1-x-2x^2}=\frac{1}{1+x}+\frac{2}{1-2x}=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}x^{n-1}+\sum_{n=1}^{\infty}2^{n}x^{n-1}
a_n=(-1)^{n-1}+2^{n}
a_{11}=(-1)^{11-1}+2^{11}=2049\)

[Galen]

Każdy kolejny wyraz jest sumą poprzedniego i dwukrotności tego,który był jeszcze wcześniej.
\(a_3=a_2+2a_1=3+6=9\\
a_4=a_3+2a_2=9+6=15\\
a_5=a_4+2a_3=15+18=33\\
a_6=a_5+2a_4=33+30=63\\a_7=a_6+2a_5=63+66=129\\
a_8=129+126=255\\
a_9=255+258=513\\a_{10}=513+510=1023\\
a_{11}=1023+1026=2049\)

[octahedron]

Galen, masz dwa razy \(a_4\)

[Galen]

Zauważyłem i poprawiłem,ale dzięki za czujność...