równanie różniczkowe

[Serge]

jak rozwiązać takie równanie różniczkowe

\(y'=\frac{y}{x+y}\)

[octahedron]

To równanie jednorodne:

\(y=ux
y'=u'x+u
y'=\frac{y}{x+y}
u'x+u=\frac{ux}{x+ux}=\frac{u}{1+u}
u'x=-\frac{u^2}{1+u}
\int\frac{1+u}{u^2}du=\int\frac{1}{u^2}+\frac{1}{u}du=-\int\frac{dx}{x}
-\frac{1}{u}+\ln|u|=-\ln|x|+C
-\frac{x}{y}+\ln|y|-\ln|x|=-\ln|x|+C
x=y\ln|y|+Cy\)