Wyjaśnienie metoda przewidywań

[dawid0512]

Dlaczego dla równania \(y"-y'=x-e^{2x}\\\) rozwiązanie szczególne wygląda tak \(y_s=x(Ax+B)+Ce^{2x}\) a nie \(y_s=(Ax+B)+Ce^{2x}\) ?

[octahedron]

Jeśli prawa strona jest postaci \(f(x)=e^{\alpha x}\cdot W(x)\), a \(\alpha\) jest \(k\)-krotnym pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego, to przewidujemy rozwiązanie \(y_s=x^ke^{\alpha x}Q(x)\). W naszym przypadku \(f_1(x)=x=xe^{0\cdot x}\), a \(0\) jest pierwiastkiem jednokrotnym \(\lambda^2-\lambda=\lambda(\lambda-1)=0\), dlatego \(y_s=x(Ax+B)\). \(f_2(x)=Ce^{2x}\), czyli wtedy \(\alpha=2\) nie jest pierwiastkiem wielomianu i przewidujemy \(y_s=Ce^{2x}\), bez tego dodatkowego \(x\)

[dawid0512]

no tak ale to nie pokrywa się z tym przykładem \(y"-2y'=2x-6x^2 \\ y_s=x(Ax^2+Bx+C)\)

[dawid0512]

a nie sorry to można chyba potraktować jako całość i w tedy by się nawet chciało zgodzić

[octahedron]

no tak ale to nie pokrywa się z tym przykładem \(y"-2y'=2x-6x^2 \\ y_s=x(Ax^2+Bx+C)\)

W tym przykładzie \(\alpha=0\), to jest pierwiastek \(\lambda^2-2\lambda=0\) i dlatego mamy to \(x\) przed nawiasem