analiza matematyczna-kilka zadań

[alicja403]

Proszę o rozwiązanie zadań;
1)Zbadac zbieznosc szeregu:
\(\sum_{n=1}^{ \infty } ( \frac{2n+7}{5n-21} )^{2n}\)
wyszlo mi ze zbiezny
2)Zbadac zbieznosc całki - co to znaczy ?
\(\int_{4}^{ \infty } \frac{x}{x^2 \sqrt{x} }\)
3)Znaleśc całkę ogólną równania rozniczkowego
y'=(xy)^3
4.Oblicz
\(\lim_{x\to0^+} xe^{ \frac{1}{x} }\)

[radagast]

1)Zbadac zbieznosc szeregu:
\(\sum_{n=1}^{ \infty } ( \frac{2n+7}{5n-21} )^{2n}\)
wyszlo mi ze zbiezny

dobrze Ci wyszło (na mocy kryterium Cauchy'ego - zbieżny)

[radagast]

2)Zbadac zbieznosc całki - co to znaczy ?
\(\int_{4}^{ \infty } \frac{x}{x^2 \sqrt{x} }\)

\(\int_{4}^{ \infty } \frac{x}{x^2 \sqrt{x} }=\int_{4}^{ \infty } x^{- \frac{3}{2}}= \left[-2x^{- \frac{1}{2}} \right]_{4}^{ \infty }= -\left[ \frac{2}{ \sqrt{x} } \right]_{4}^{ \infty }=-(0- \frac{2}{ \sqrt{4} })=1\) - zbieżna (bo wartość skończona )

[radagast]

3)Znaleśc całkę ogólną równania rozniczkowego
y'=(xy)^3

\(\frac{dy}{dx} =(xy)^3\)

\(\frac{dy}{dx} =x^3y^3\)

\(\int \frac{dy}{y^3} = \int x^3dx\)

\(\int y^{-3}dy = \int x^3dx\)

\(\frac{1}{2} y^{-2}= \frac{1}{4} x^4+C\)


\(y^{-2}= \frac{1}{2} x^4+D\)

\(y= \left(\frac{1}{2} x^4+D \right)^{- \frac{1}{2}}\)

\(y= \frac{1}{ \sqrt{\frac{1}{2} x^4+D } }\)

[radagast]

4.Oblicz
\(\lim_{x\to0^+} xe^{ \frac{1}{x} }\)

\(\lim_{x\to0^+} xe^{ \frac{1}{x}} = \lim_{x\to0^+} \frac{e^{ \frac{1}{x}}}{ \frac{1}{x} }= \lim_{x\to0^+} \frac{ -\frac{1}{x^2} \cdot e^{ \frac{1}{x}}}{ -\frac{1}{x^2} }= \lim_{x\to0^+} {e^ {\frac{1}{x}}}= +\infty\)