forum.zadania.info

Dowieść że jeżeli alfa, beta, gama są kątami trójkąta to 1<cos(alfa)+cos(beta)+cos(gama)=<1,5

Policzmy wartość wyrażenia \(cos \alpha +cos \beta +cos \gamma\):
\(cos \alpha +cos \beta +cos ( \pi - (\alpha + \beta ))= cos \alpha +cos \beta -cos (\alpha + \beta )= 2cos {\frac{ \alpha + \beta }{2}}cos {\frac{ \alpha - \beta }{2}} -2cos^2{\frac{ \alpha + \beta }{2}}+1=
2cos {\frac{ \alpha + \beta }{2}}cos {\frac{ \alpha - \beta }{2}} -2cos^2{\frac{ \alpha + \beta }{2}}+1=2cos {\frac{ \alpha + \beta }{2}} \left( cos {\frac{ \alpha - \beta }{2}}-cos {\frac{ \alpha + \beta }{2}}\right) +1= 2cos {\frac{ \alpha + \beta }{2}} \left( -2sin{ \frac{ \alpha }{2}}sin{ \left( -\frac{ \beta }{2} \right) } \right) +1=
4cos {\frac{ \alpha + \beta }{2}} sin{ \frac{ \alpha }{2}}sin{ \frac{ \beta }{2} }+1\) To, że to jest większe od 1 jest oczywiste, a że mniejsze od1,5 trochę mniej...