ZADANIE Z TRÓJKĄTEM
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
marcin2002
- Witam na forum
- Posty: 4
- Rejestracja: 20 lut 2009, 16:01
- Otrzymane podziękowania: 1 raz
ZADANIE Z TRÓJKĄTEM
Dowieść że jeżeli alfa, beta, gama są kątami trójkąta to 1<cos(alfa)+cos(beta)+cos(gama)=<1,5
-
radagast
- Guru
- Posty: 17553
- Rejestracja: 09 lis 2010, 08:38
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękowania: 41 razy
- Otrzymane podziękowania: 7436 razy
- Płeć:
Policzmy wartość wyrażenia \(cos \alpha +cos \beta +cos \gamma\):
\(cos \alpha +cos \beta +cos ( \pi - (\alpha + \beta ))= cos \alpha +cos \beta -cos (\alpha + \beta )= 2cos {\frac{ \alpha + \beta }{2}}cos {\frac{ \alpha - \beta }{2}} -2cos^2{\frac{ \alpha + \beta }{2}}+1=
2cos {\frac{ \alpha + \beta }{2}}cos {\frac{ \alpha - \beta }{2}} -2cos^2{\frac{ \alpha + \beta }{2}}+1=2cos {\frac{ \alpha + \beta }{2}} \left( cos {\frac{ \alpha - \beta }{2}}-cos {\frac{ \alpha + \beta }{2}}\right) +1= 2cos {\frac{ \alpha + \beta }{2}} \left( -2sin{ \frac{ \alpha }{2}}sin{ \left( -\frac{ \beta }{2} \right) } \right) +1=
4cos {\frac{ \alpha + \beta }{2}} sin{ \frac{ \alpha }{2}}sin{ \frac{ \beta }{2} }+1\) To, że to jest większe od 1 jest oczywiste, a że mniejsze od1,5 trochę mniej...
\(cos \alpha +cos \beta +cos ( \pi - (\alpha + \beta ))= cos \alpha +cos \beta -cos (\alpha + \beta )= 2cos {\frac{ \alpha + \beta }{2}}cos {\frac{ \alpha - \beta }{2}} -2cos^2{\frac{ \alpha + \beta }{2}}+1=
2cos {\frac{ \alpha + \beta }{2}}cos {\frac{ \alpha - \beta }{2}} -2cos^2{\frac{ \alpha + \beta }{2}}+1=2cos {\frac{ \alpha + \beta }{2}} \left( cos {\frac{ \alpha - \beta }{2}}-cos {\frac{ \alpha + \beta }{2}}\right) +1= 2cos {\frac{ \alpha + \beta }{2}} \left( -2sin{ \frac{ \alpha }{2}}sin{ \left( -\frac{ \beta }{2} \right) } \right) +1=
4cos {\frac{ \alpha + \beta }{2}} sin{ \frac{ \alpha }{2}}sin{ \frac{ \beta }{2} }+1\) To, że to jest większe od 1 jest oczywiste, a że mniejsze od1,5 trochę mniej...