a) \(\sum_{ \infty }^{n=1} \frac{n}{2^n}
b) \sum_{ \infty }^{n=1} \frac{n^2}{2^n}
c) \sum_{ \infty }^{n=0} \frac{1}{n!}
d) \sum_{ \infty }^{n=1} \frac{(-1)^n+1}{n}\)
obliczyć sumy szeregów
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Expert
- Posty: 6762
- Rejestracja: 19 mar 2011, 00:22
- Otrzymane podziękowania: 3034 razy
- Płeć:
-
- Expert
- Posty: 6762
- Rejestracja: 19 mar 2011, 00:22
- Otrzymane podziękowania: 3034 razy
- Płeć:
Re: obliczyć sumy szeregów
\(b)
\sum_{n=1}^{\infty}n^2x^n=\sum_{n=1}^{\infty}\[n(n-1)x^n+nx^n\]=\sum_{n=1}^{\infty}n(n-1)x^n+\sum_{n=1}^{\infty}nx^n=x^2\sum_{n=1}^{\infty}n(n-1)x^{n-2}+\frac{x}{(1-x)^2}=
=x^2\(\sum_{n=1}^{\infty}x^n\)''+\frac{x}{(1-x)^2}=x^2\(\frac{x}{1-x}\)''+\frac{x}{(1-x)^2}=\frac{2x^2}{(1-x)^3}+\frac{x}{(1-x)^2}
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{2^n}=\sum_{n=1}^{\infty}n^2\(\frac{1}{2}\)^n=\frac{2\(\frac{1}{2}\)^2}{\(1-\frac{1}{2}\)^3}+2=6\)
\sum_{n=1}^{\infty}n^2x^n=\sum_{n=1}^{\infty}\[n(n-1)x^n+nx^n\]=\sum_{n=1}^{\infty}n(n-1)x^n+\sum_{n=1}^{\infty}nx^n=x^2\sum_{n=1}^{\infty}n(n-1)x^{n-2}+\frac{x}{(1-x)^2}=
=x^2\(\sum_{n=1}^{\infty}x^n\)''+\frac{x}{(1-x)^2}=x^2\(\frac{x}{1-x}\)''+\frac{x}{(1-x)^2}=\frac{2x^2}{(1-x)^3}+\frac{x}{(1-x)^2}
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{2^n}=\sum_{n=1}^{\infty}n^2\(\frac{1}{2}\)^n=\frac{2\(\frac{1}{2}\)^2}{\(1-\frac{1}{2}\)^3}+2=6\)
-
- Expert
- Posty: 6762
- Rejestracja: 19 mar 2011, 00:22
- Otrzymane podziękowania: 3034 razy
- Płeć:
-
- Expert
- Posty: 6762
- Rejestracja: 19 mar 2011, 00:22
- Otrzymane podziękowania: 3034 razy
- Płeć: