Granica

[edox92]

Witam,
Mam mały problem z poniższymi granicami. Patrzę na zadania z poprzednich egzaminów i powtarzały się on dość często, w praktycznie identycznej formie, czyli istnieje prawdopodobnie jakiś konkretny sposób, żeby je policzyć, tak? :p
Jeśli komuś się nie chcę liczyć, to niech chociaż poda jakąś wskazówkę. Proszę o pomoc.
\(\lim_{x\to \0} a_n= \frac{4x-sin4x}{4x^2+2x^3}\)
\(\lim_{x\to \0} a_n= \frac{e^{2x}-1-2x}{2x^2+x^2}\)

[Crazy Driver]

Albo reguła de l'Hospitala, albo rozwijanie wielomianów Taylora wokół 0.

[edox92]

Z de l'Hospitala wychodzi jakaś liczba dzielona przez 0, a to jest nieskończoność?
Coś sobie ubzdurałem, że 0 nie może być w mianowniku i trzeba inaczej to policzyć..

[Crazy Driver]

To jest nieskończoność, ale nie wiadomo która, więc jeśli tak wychodzi, trzeba liczyć osobno granice jednostronne.

[radagast]

\(\lim_{x\to \0} \frac{4x-sin4x}{4x^2+2x^3}=^H\lim_{x\to \0} \frac{4-4cos4x}{8x+6x^2}=^H\lim_{x\to \0} \frac{16sin4x}{8+12x}= \frac{0}{8} =0\)

Na pewno się da bez de l' Hospitala ale nie chce mi wyjść.

[radagast]

A z tą drugą granicą męczę się od dłuzszego czasu i nie mogę znależć błędu:
i graphmatica i geogebra zgodnie pokazują, ze to ma być 0:

ScreenHunter_232.jpg (13.4 KiB) Przejrzano 592 razy

A mi wychodzi \(\frac{2}{3}\):
\(\lim_{x\to \0} \frac{e^{2x}-1-2x}{2x^2+x^2}=^H \lim_{x\to \0} \frac{2e^{2x}-2}{6x}=^H \lim_{x\to \0} \frac{4e^{2x}}{6}= \frac{2}{3}\)
Gdzie robię błąd ?

[supergolonka]

Ta granica jest ok, wynik to 2/3. Wykres za to jest zły - ta funkcja jest rosnąca.
Inna sprawa, że przykład jest pewnie źle wpisany, bo 2x^2+x^2 w mianowniku jest raczej bez sensu.

[edox92]

Tak, sorry, w mianowiku jest 2x^3+x^2.

[radagast]

Dzięki Supergolonka. Robiłam idiotyczny błąd polegający na niestawianiu nawiasu w mianowniku co program odczytywał tak:
\(\frac{e^{2x}-1-2x}{3}x^2\)
właściwy wykres jest taki :

ScreenHunter_233.jpg (11.94 KiB) Przejrzano 569 razy

[radagast]

\(\lim_{x\to \0} \frac{e^{2x}-1-2x}{2x^3+x^2}=^H\lim_{x\to \0} \frac{2e^{2x}-2}{6x^2+2x}=^H\lim_{x\to \0} \frac{4e^{2x}}{12x+2}=2\)

[edox92]

Tak, już sobie poradziłem. Dzięki wszystkim.
Głównie problem polegał na tym, że zapomniałem jak się liczy pochodne.