granica, hosptal,

[MrVonzky]

Nie rozumiem czegoś...


Mam policzyć granice funkcji:

\(\lim_{x\to \ \frac{\pi}{2} }(tgx)^{ \frac{1}{x- \frac{\pi}{2} } }\).

Ale czy to nie jest przypadkiem nieskończonośc do nieskończoności?

Ok, a nawet jak rozbiłem z "e" i zajmuję się wykładnikiem to wyrażenie: \(\frac{lntgx}{x- \frac{\pi}{2} }\) nie jest to nieskonczonośc przez 0? Nie jest to symbol nieooznaczony przecież (?)

[Galen]

Jeśli zmierzasz do \(\frac{\pi}{2}\) z lewej strony, to tg zmierza do \(+\infty\),ale wykładnik
potęgi zmierza do \(-\infty\)
Jest zatem
\((+\infty)^{-\infty}=\frac{1}{(+\infty)^{(+\infty)}}=\frac{1}{+\infty}=0_+\)

Z prawej strony będzie (-nieskończoność ) do potęgi....A takie coś nie istnieje-chyba.

[MrVonzky]

czyli da się to policzyć hospitalem?

[octahedron]

Da się, ale tylko lewostronną, jak zauważył Galen, z prawej strony granicy ta funkcja nie istnieje.

[Crazy Driver]

Nie możemy liczyć granicy prawostronnej, bo ta funkcja nie jest określona w prawostronnym otoczeniu punktu \(\frac{\pi}{2}\)

Napis \(x^\alpha\), gdzie \(\alpha\) jest dowolną ustaloną liczbą rzeczywistą, ma sens tylko wtedy, gdy \(x>0\)

\(f(x)=(\textrm{tg}x)^{1/(x-\pi/2)}\)

\(\textrm{tg}x>0\)

\(D_f=\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}(k\pi,\,\frac{\pi}{2}+k\pi)\)

W takim razie granice tej funkcji możemy obliczać na zbiorze \(\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}(k\pi,\,\frac{\pi}{2}+k\pi)\)

granice prawostronne na \(\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}[k\pi,\,\frac{\pi}{2}+k\pi)\)

a lewostronne na \(\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}(k\pi,\,\frac{\pi}{2}+k\pi]\)

[MrVonzky]

nic nie rozumiem z tego zapisu

[octahedron]

To są sumy zbiorów, np.
\(\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}(k\pi,\,\frac{\pi}{2}+k\pi)=...\cup\(-2\pi,\frac{\pi}{2}-2\pi\)\cup\(-\pi,\frac{\pi}{2}-\pi\)\cup\(0,\frac{\pi}{2}\)\cup\(\pi,\frac{\pi}{2}+\pi\)\cup\(2\pi,\frac{\pi}{2}+2\pi\)\cup...\)

[Crazy Driver]

Chodzi o sumę mnogościową?

Napis

\(\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}(k\pi,\,\frac{\pi}{2}+k\pi)\)

oznacza sumę wszystkich przedziałów postaci \((k\pi,\,\frac{\pi}{2}+k\pi)\), gdzie \(k\) jest liczbą całkowitą. Taki napis jest najbardziej precyzyjnym opisem dziedziny tej funkcji.